第四讲 解析函数和调和函数

第二节解析函数和调和函数1、共轭调和函数由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条件，即：。而由C-R条件有：,uvuvxyyx222222,uvuvxxyyyx显然有：222222220,0uuvvxyxy定义1(调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏导数，并且满足：，则称u(x,y)为区域D中的调和函数。称为Laplace方程。(,)0uxy(,)0uxy定理1：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部和虚部都是该区域上的调和函数。*若u(x,y),v(x,y)是任意选取的两个调和函数，则f(z)却不一定解析。例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它为实部的解析函数。解：222266uxxuxy显然：，u(x,y)为调和函数。22220uuxy若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以：226,(1)33,(2)vuxyxyvuxyyx由方程(1)解得：2(,)3()vxyxygy将其带入到(2)中有：'2()3gyy解得：3()gyyC最后可以将解析函数表示为：32233()33fzxxyixyyCziC*显然一个解析的复变函数的实部和虚部并不是独立的任意选取的实函数，而是由C-R条件联系在一起的一对共轭实调和函数。定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部和虚部为该区域上的共轭调和函数。2、共轭调和函数的几何意义12(,),(,)uxyCvxyC在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f’(z)0，并分别取u(x,y),v(x,y)的等值线：可以证明，两条曲线在交点处正交。证明：若令两个曲线的交点为(x0,y0)，则：001002(,),(,)uxyCvxyC实部函数和虚部函数的梯度场函数为：(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)xyxyuxyuxyUxyuxyeexyvxyvxyVxyvxyeexy所以，在交点处两个等值线的法向量为：现在做两个向量的内积：00000000(,)(,)(,)(,),,,uvuxyuxyvxyvxynnxyxy0000000000000000(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)0uvuxyvxyuxyvxynnxxyyvxyvxyvxyvxyyxxy很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。例2，在复平面上的解析函数2()fzazb解：所以：22(,)(,)2uxyaxybvxyaxy22()()fzazbaxiyb222axybiaxy例3，在复平面上的解析函数()fzz解：若所以：(,)(,)uxyaxbycvxyaybxd()()fzzaibxiycid()axbyciaybxd,aibcid则：-7.5-5-2.52.557.5-15-10-551015第三节初等解析函数和多值函数1、初等单值函数(1)幂函数,0,1,2nwzn幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：01nnwaazaz也处处解析。而有理函数：除了点外解析。0101()()nnnnaazazPzwQzbbzbz()0Qz(2)指数函数(cossin)zxiyxweeeeyiy指数函数的性质：(i)0ze(ii)对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中的定义一致。(iii)1212zzzzeee(iv)指数函数处处解析，且：'zwe(v)2zikzee(vi)不存在。limzze证明：(i)若0ze0xiyee0xe(iv)()zfze00()()limlimzzzzzfzzfzeeezz01limzzzeez01limxiyzzeeez0111limzzxiyez0limzzzxiyeez(ii)正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角公式：22121212121212sincos1cos()coscossinsinsin()sincoscossinzzzzzzzzzzzzzz(iii)正弦函数和余弦函数以2为周期；(iv)sinz=0，则cosz=0，则,0,1,znn(1/2),0,1,znn(v)在复数域中，不能判定cos()1,sin()1zz(i)正弦函数和余弦函数处处解析，且：sincoscos,sindzdzzzdzdz(3)三角函数11sin,cos22izizizizzeezeei证明：(i)1()sin2izizfzzeei()()0()()1lim2ixxixxyyyyyixyixzeeeeeeeefzzfzziz()()1cossin1cossinixxixxyyyyyixyixeeeeeeyxixeeyxix0()()1lim21122yixyixzyixyixizizeeeeyixfzzfzzizeeeexiyeez1111yixyixeeyixeeyix11yixyixeeyixeeyixyixyixyixyixeeeeyixeeee(ii)11sin,cos22izizizizzeezeeicossincossinizizezizeziz1212121cos()2izizizizzzeeee121212112212121sin()21cossincossin2cossinsincosizizizizzzeeeeizizzizzzzz11221cossincossin2zizziz1212coscossinsinzzzz(iv)sinz=00izizee21ize,0,1,znncos0z0izizee21ize1,0,1,2znn2、初等多值函数(I)根式函数：,0,1,2nwznA根式函数的多值性例如：0023333niiwezre很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有三个不同的值与z的幅角对应：3002,0,1,233rnn显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅角相差2/3。若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I，不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域I(0Arg(w)2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的端边称为根式函数的三个单值分支。(II)支点如图，在平面上任选一点z(r,)，则利用第一个单值分支得：0331iwre若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合曲线连续变化，若曲线不包括原点，则连续改变的幅角回到原来的值，而w的值也回到w1。但如果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而是回到w2：023332iwre我们称z=0为的支点。3wz定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点为多值函数的支点。对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。(III)支割线连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此根式函数只在一个单值分支上取值。注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也不相同。(II)对数函数：Ln,0wzz2LnLnln2inwzrerin显然：(,)ln,(,)2uxyzvxyn很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼此的虚部差2的整数倍。若限定-Arg(z)很明显，即-v(x,y)，则z的对数只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。所以：lnln()wzriargz显然：Lnln2,0,1,wzzinn如在w平面上用平行于实轴的直线画出一个宽为2的条带，例如图中的I，则z与w为一一对应的关系。I为z=ew的单叶性区域。同样，对数函数也存在两个支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：lnln2kzrik而这无穷多个单值函数皆是解析函数。证明：()lnln2kfzzrik00ln2()limlimzzrikfzzxiy考虑极限：2200lnarctanlnlimlimzzyxyirixxiyxiy所以：'1(),0fzzz201limzxxyyiyxxyrxiy211xiyrxiyz0z对数运算法则：1212Ln()Ln()Ln()zzzz1212Ln(/)Ln()Ln()zzzz证明：1212()()11121222,iiiizrzzrrereerezr12Ln()ln()2zzrik1122Ln()Ln()Ln()zzzz1212ln()2rrik111222ln()2ln()2rikrik12Ln()Ln()zz例1：若a0，计算Ln(-a).解：Lnln2,0,1,wzzinn而：izaae所以：ln21,0,1,wainn例2：计算Ln(i).解：因为：/21izie所以：12,0,1,2winn例3：计算ii。解：Lniie所以：(2)(2)22,0,1ikikiieek因为：(III)反三角函数：Arcsin,Arccoswzwz由于：1()2iwiwzeei则：2210iwiweeiz则：21iweizz所以：221ArcsinLn11Ln12iwwzeizzizzi同理，由反余弦函数得：21ArccosLn1wzzzi由于对数函数的多值性，显然反三角函数也是多值函数。作业：1、已知复变函数的实部或虚部，写出解析函数：2233(1)(,),(2)0(2)(,)sin(3)(,),(0)0(4)(,)ln,(1)0xyvxyfxyuxyeyuxyxyxyfuxyf2、试证明三个单值分支在割破的z平面上任意区域上都是解析的，并求其导数。3z