第四讲-----直角三角形和勾股定理

第四讲直角三角形与勾股定理教学目标1.掌握直角三角形的概念、性质和判定并能将这些的知识点解决相关问题。2.掌握勾股定理及其逆定理，会用勾股定理及其逆定理解决相关问题。3.将直角三角形的知识点与其它知识点结合，探索并解决三角形或四边形的一些问题教学重点及相应策略灵活应用直角三角形的知识点和其它知识点，并进行良好的结合解决相关问题。教学难点及相应策略灵活应用直角三角形的知识点和其它知识点，并进行良好的结合解决相关问题。教学方法建议讲练结合，引导学生归纳总结选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（）道（）道（）道B类（）道（）道（）道C类（）道（）道（）道一、知识梳理/提炼（1）直角三角形的性质1、Rt△的两个锐角互余（∠A+∠B=90°）2、斜边上的中线等于斜边的一半（若D为斜边AB的中点，则CD＝12AB）3、30°角所对直角边等于斜边的一半（若∠A＝30°，∠C=90°，CB=12AB）4、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（若∠C=90°，则222abc）（2）直角三角形的判定1、有两个锐角互余的△是直角三角形。22、如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为90°3、勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222abc，则∠C＝90°。用法：（1）选出最大边；（2）计算较小两边的平方和；（3）比较最大边的平方与较小两边的平方和；（4）如果两者相等，则最大边所对的角为直角。（3）常用几个结论：1、2、直角三角形斜边上的高＝两直角边乘积除以斜边。公式为cabhc3、常见的勾股数：（3k，4k，5k）（5k，12k，13k）（7k，24k，25k）（8k，15k，17k）（9k，40k，41k）4、在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是最短距离，一般需要用到勾股定理。二、方法归纳1.因为直角三角形斜边上的中线的特殊性质，在解决有关直角三角形的问题时，不妨试试添加斜边上的中线这条辅助线。2.勾股定理时现阶段求线段长度的主要方法，如果图形中缺乏直角条件，则可以通过作辅助线的方法构造出直角三角形，为勾股定理创造条件。3.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定三角形中那个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法。利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，这中间体现了代数方法解几何题的一些思想，即数形结合思想，方程思想。4.在初中阶段，许多求线段的长度、角度的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系问题，常常会用到勾股定理或逆定理来解决。300x2x3x450x2xx3三、课堂精讲例题例题1题目：（2009湖北省荆门市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为。难度分级：A类-试题来源：中考试题汇编-选题意图（对应知识点）：轴对称的性质；直角三角形的性质；三角形的外角性质．-解题思路：根据轴对称的性质可知∠CA′D=∠A=50°，然后根据外角定理可得出∠A′DB．-解法与答案：-由题意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°-由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB-∴可得：∠A′DB=10°搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）题目：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则∠A的值为．4-解析：沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，可得：∠B=2∠A，且∠ACB=90°，故∠A=30°例题2-题目：（2010•河南）直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是cm2．-难度分级：A类-试题来源：课时训练班-选题意图（对应知识点）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．-解题思路：由于直角三角形斜边上的中线是6cm，因而斜边是12cm，而高线已知，因而可以根据面积公式求出三角形的面积．-解法与答案：-解：∵直角三角形斜边上的中线是6cm，-∴斜边是12cm，-∴S△=12×5×12=30cm²-∴它的面积是30cm²．5-故填：30cm²．搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）题目：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，BD⊥AC于D，点E为AC的中点，若BC=7，AB=24，则BE=，BD=．-解析：根据勾股定理即可求得AC的长，再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得BE的长；-根据△ABC的面积=1/2AB•BC=1/2AC•BD即可求解．-答案：BE=12.5，BD=6.72例题3题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE=6，则AC=．-难度分级：A类-试题来源：菁优网-选题意图（对应知识点）：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．-解题思路：①AE=BE=6；②∠AEC=2∠B=30°；③AE=2AC．6-解法与答案：-解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE=6，-∵∠B=15°，-∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°．-∴AE=2AC．-故AC=3．-故填3．搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）题目：如图，等腰△ABC中顶角∠A=120°，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点E、F．求证：BF=2CF．-解析：首先根据条件求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质求出∠1=∠C=30°，进而得到∠BAF=90°，然后利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得到AF=1/2BF，又有AF=CF可证出结论．例题47题目：如图，长方形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D与点B重合，点C至点C′，折痕为EF．求△BEF的面积？-难度分级：A类-试题来源：课时训练-选题意图（对应知识点）：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．-解题思路：设BE=x，则AE=9-x，则在直角△ABE中根据勾股定理列出关于x的关系式，再根据三角形的面积公式即可解题．-解法与答案：-解：由题意得：-∴BE=DE，∠BFE=∠DEF，-∵AD∥BC，-∴∠BEF=∠DEF，-∴∠BEF=∠BFE，-∴BF=BE=DE，-设BF=x，则AE=AD-DE=9-x，-在Rt△PDQ中，∠BAE=90°-∴BE2=AB2+AE2即x2=32+（9-x）2，-解得x=5，∴BF=5，-∴S△BEF=1/2BF•h=1/2×5×3=15/2．搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）8-总结归纳：类似的折叠问题，考试中经常出现，这类题目往往需要抓住折叠过程中相等的边或角，然后利用勾股定理来求出相应的边或角。题目：如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．-解析：首先由折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，即可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG=EG，设AG=x，则GE=x，BE=BD-DE=5-3=2，BG=AB-AG=4-x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．例题5题目：已知a，b，c为△ABC三边，且满足a²+b²+c²+338=10a+24b+26c．试判断△ABC的形状．-难度分级：A类-试题来源：课时训练-选题意图（对应知识点）：勾股定理的逆定理；完全平方公式．-解题思路：把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．-解法与答案：-解：由已知得-（a²-10a+25）+（b²-24b+144）+（c²-26c+169）=0-（a-5）²+（b-12）²+（c-13）²=09-由于（a-5）²≥0，（b-12）²≥0，（c-13）²≥0．-所以a-5=0，得a=5；-b-12=0，得b=12；-c-13=0，得c=13．-又因为13²=5²+12²，即a²+b²=c²-所以△ABC是直角三角形．搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）题目：已知等腰三角形ABC，底边BC=20，D为AB上一点，且CD=16，BD=12，求AD的长．-解析：欲求AD的长，最好先根据题意画出草图，然后根据已知条件求解，本题根据常见勾股数3，4，5，知△BCD为直角三角形，AD的长易求-答案：14/3例题6题目：如图，60DABCDADCBAB，，，且21ABCD，，求AD和BC的长.-难度分级：B类-试题来源：课时训练-选题意图（对应知识点）：勾股定理；30°直角三角形的性质。10解题思路：注意到条件6090DABB，，联想到含30角的直角三角形的性质，延长AD和BC，就可以构造出两个含30角的直角三角形来．-解法与答案：解：延长AD，BC交于点E．∵6090DABB，，30E∴，又CDAD，9022CDECECD∴，∴，223DECECD∴．又3090EB，，24AEAB∴，2223BEAEAB∴，43232ADAEDEBCBECE∴，．搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）题目：如图4，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°．求证：AC＝12AB．-解析：由结论12ACAB和条件30BAD∠，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过B作BEAD交AD的延长线于点E，这样就得到了直角三角形ABE，这是解决本题的关键．-答案：略例题711题目：(2006•常德）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．-难度分级：B类-试题来源：课时训练-选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．-解题思路：-根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．-解法与答案：-解：（1）猜想：AP=CQ，-证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，-∴∠ABP=∠QBC．-又AB=BC，BQ=BP，-∴△ABP≌△CBQ，-∴AP=CQ；12-（2）由PA：PB：PC=3：4：5，-可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，-连接PQ，在△PBQ中-由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，-∴△PBQ为正三角形．-∴PQ=4a．-于是在△PQC中-∵PQ²+QC²=16a²+9a²=25a²=PC²-∴△PQC是直角三角形．-总结归纳：这道题中是典型旋转变换与勾股定理的运用。对于特殊的三角形，包括等腰直角三级、等边三角形，如果内部有一点或某边上有一点，要求内部的小三角形的一些角度或者边长关系的问题，我们不妨将内部的三角形进行旋转，产生形的等腰直角三角形或者等边三角形来进行求解。搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）题目：（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、