第一章 数学物理中的偏微分方程

数学物理方程EquationsofMathematicalPhysics2数学物理方程指从物理学或其他各门自然科学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方程(有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。教学目的通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三类典型方程定解问题的解法，进一步扩大学生的数学知识面，为后继课程提供必要的数学基础。3参考书目《数学物理方程》,王明新,清华大学出版社。《数学物理方程》，姜礼尚，高教出版社。《工程技术中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大学出版社。1.1偏微分方程的一些基本概念45一.偏微分方程（partialdifferentialequation)（PDE）的基本概念),,,(21nxxxx自变量),,,()(21nxxxuxu未知函数121112(,,,,,,,,)0nmnmmmnnuuuFxxuxxxxx偏微分方程的一般形式6PDE的阶：PDE的解古典解广义解概念是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有m阶连续偏导数。线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE12nmmmm自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．7线性PDE：PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如：21111,11(,,)(,,)(,,)(,,),nnijnjnnnijjijjuuaxxbxxcxxufxxxxx,,,ijjabcf其中是给定的函数。,,ijjabc系数均为常数.常系数线性PDE:不然称为变系数的．齐次线性PDE:0f.不然称为非齐次的．线性PDE的主部:具有最高阶数偏导数组成的部分．主部8PDE中对最高阶导数是线性的。例如：半线性PDE：完全非线性PDE：PDE中对最高阶导数不是线性的。211,111(,,,,,,)(,,,,,,).nijnnijnijnuuuuuauxxfuxxxxxxxx211,11(,,)(,,,,,,).nijnnijijnuuuaxxfuxxxxxx拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。例如：非线性PDE9举例（未知函数为二元函数）0xu1.0xuatu2.atxx变换解为：)(yfu解为：)(atxfu10举例（未知函数为二元函数）022222xuatu4.02txu3.解为：)()(thxguatxatx变换02u解为：)()(atxhatxgu1102222yuxu5.不易找出其通解，但还是可以找出一些特解任意解析函数的实部和虚部均满足方程。)(zfr1ln也是解22yxr0633xuxuutu6.特解都不易找到KDV方程举例（未知函数为二元函数）`127.uxteuuu拟线性PDE8.22vvvvvyyyxxx拟线性PDE9.)())(,(yxvyyxxvvevvyxa半线性PDE10.uuuxtsin半线性PDE11.222uuuxt完全非线性PDE1.2三个典型的方程1314举例(多元函数)0222222zuyuxutuzuyuxu22222222222222tuzuyuxu拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程物理模型与定解问题的导出1516弦振动方程的导出17一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。假设这运动发生在同一平面内，求弦上各点位移随时间变化规律。弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。物理背景：波的传播和弹性体振动。弦振动方程的导出首先，考察弦横振动这个物理问题：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其长度为l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化假设，以便抓住问题的最本质特征。基本假设：1.弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。弦可以视为一条曲线，线密度为常数。（细弦）2.弦在某一个平面内作微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。（微幅）3.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形与张力的关系服从虎克定律。（横振动）基本规律：牛顿第二定律（冲量定律）gds'MMdsxTyxdxx''T弦线上任意一点在t时刻沿y轴上的位移研究对象：(,)uxt在右图所示的坐标系，用u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。在这条弦上任意取一弦段(x,x+Δx)，它的弧长为：由假设3，弦线张力T(x)总是沿着弦在x处的切线方向．由于弦只在垂直x轴的方向进行横振动，因此可以把弦线的张力T(x)在x轴的方向的分量看成常数Ｔ。对于图中选取的弦段而言，张力在x轴的垂直方向上的合力为：]),(),([)()(1212xtxuxtxxuTtgtgTsinsinT假设2和假设3在时间段(t,t+Δt)内该合力产生的冲量为：dtxtxuxtxxuTttt]),(),([另一方面，在时间段(t,t+Δt)内弦段(x,x+Δx)的动量变化为：dxttxutttxuxxx]),(),([于是由冲量定理：dxttxutttxudtxtxuxtxxuTxxxttt]),(),([]),(),([从而有：0]),(),([2222dtdxxtxuTttxutttxxx进一步由Δt，Δx的任意性，有/,0),(),(222222Taxtxuattxu假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦段(x,x+Δx)上的外力为：dxtxFxxx),(它在时间段(t,t+Δt)内的冲量为：dtdxtxFtttxxx),(/),(),(,/),,(),(),(222222txFtxfTatxfxtxuattxu),,,()(222222222tzyxfzuyuxuatu类似地，三维波动方程可以表示为：0)],(),(),([2222dtdxtxFxtxuTttxutttxxx于是有：简化假设：(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。cos1cos'1gds'MMdsxTyxdxx''T牛顿运动定律：sin'sin'TTgdsma横向：cos'cos'TT纵向：(,)sintan(d,)sin'tan'uxtxuxxtx其中：'TT(d,)(,)uxxtuxtTgdsmaxx22(d,)(,)(,)dduxxtuxtuxtTgxxxxt其中：ddsx22(,)mdsuxtat22(d,)(,)(,)(,)dduxxtuxtuxtuxtxxxxxxx2222(,)(,)dduxtuxtTgxxxt其中：2222(,)(,)dduxtuxtTgxxxt2222(,)(,)Tuxtuxtgxt22222uuagtx………一维波动方程2Ta令：------非齐次方程自由项22222uuatx------齐次方程忽略重力作用：的函数，为和如果弦非均匀，则xT),()())((txuxFuxTxttx非均匀弦的强迫横振动方程一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述：弹性杆的纵向振动管道中气体小扰动的传播………等等因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，而是一类问题。282+1维波动方程或膜振动方程2222222(,,)uuuafxyttxy一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：u(x,y,t)表示在t时刻、膜在(x,y)点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力a2=T/：T表示张力、为线密度293+1维波动方程或声波方程222222222(,,,)uuuuafxyzttxyz11222221(,),,(,,)nnxxxxxxnuaufxttuuuuxxxn+1维波动方程1.4定解条件和定解问题30列出微分方程的目的是要从微分方程中求得具体问题的解或者研究解的性质。前面我们看到，弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x,t)所应满足的一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。例如:在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即u(0,t)=0，u(l,t)=0，这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为)0()()0,(),()0,(lxxtxuxxu这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：定解条件4.20:3.20:02.2),(),(:01.2),,(),(),(22222ulxuxxtuxuttxfxtxuattxu要在区域)0,0(tlx上（见右上图）求上述定解问题的解，就是要求这样的连续函数u(x,t)，它在区域0xl,t0中满足波动方程(2.1)；在x轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件(2.3)和(2.4)。一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷（Dirichlet）边界条件。定解条件波动方程的初始条件00|()()ttuxuxt1、初始条件——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度定解条件(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件——描述系统在边界上的状况波动方程的三类边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0|0,xu(,)0uat或：0xauTx0xaux(,)0xuat(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧的支承。xaxauTkux或0xauux诺依曼（Neumann）边界条件狄利克雷（Dirichlet）边界条件同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。定解条件定解问题定解问题适定性概念(1)初始问题：只有