2012年高考一轮复习方案平面向量第三节__平面向量的数量积_课件

考点串串讲1．两向量的夹角如图所示，已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.注意(1)作a与b所成的角时，应注意“平移共始点”．(2)两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，而向量的夹角可以是钝角，其取值范围是0°≤θ≤180°.2．两个向量数量积的定义已知非零向量a，b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.注意(1)结合物理学中力做功的背景来理解向量的数量积定义．(2)两个向量的数量积，其结果是数量而不是向量，它的值为两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定．(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，又称“点乘”，与以前所学实数的乘法是有区别的．在书写时，一定要严格区分，不可省略不写或混淆．3．向量数量积的几何意义对于a·b＝|a||b|cosθ，其中|b|cosθ叫做向量b在a方向上的数量(θ为向量a与b的夹角)．当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是负值；当θ＝90°时，它是0；当θ＝0°时，它是|b|；当θ＝180°时，它是－|b|.注意(1)|b|cosθ叫做b在a方向上的数量，是实数而不是向量．b在a方向上的数量|b|cosθ＝a|a|·b.(2)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b＝0，这是因为当b与a的夹角为90°时，都有a·b＝0.4．平面向量数量积的运算性质(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.注意①向量数量积运算所满足的是交换律、数乘结合律及加乘分配律，但不适合乘法结合律．如：(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，故二者未必相等．②向量的数量积不满足运算的消去律，如a·b＝c·b⇒/a＝c.5．平面向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)若a与b同向，则a·b＝|a||b|，若a与b反向，则a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.注意①a·a＝a2＝|a|2＝|a|·|a|，即|a|＝a·a，这些性质在化简、求证中涉及向量长度的相关问题中起到重要作用．②cosθ＝a·b|a||b|是平面向量数量积公式的变形，常用来求两向量的夹角问题．③a·b＝0⇔a与b垂直．④|a·b|≤|a||b|可用于证明不等式问题．6．平面向量数量积的几何表示与坐标表示(1)平面向量的数量积几何表示定义：a·b＝|a||b|cosθ(a≠0，b≠0,0°≤θ≤180°)0·a＝0坐标表示a·b＝x1x2＋y1y2(2)平面向量数量积的重要性质几何表示①|a|＝a·a＝|a||a|cosθ＝|a|2②cosθ＝a·b|a||b|③|a·b|≤|a||b|坐标表示①|a|＝x21＋y21②cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22③|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22典例对对碰题型一数量积的概念例1设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线．给出下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b与c不可能垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中是真命题的有()A．①②B．②③C．③④D．②④分析由数量积的概念、性质及其运算去判断．解析(a·b)c是与向量c平行的向量，(c·a)b是与向量b平行的向量，因此(a·b)c与(c·a)b不一定相等．故①不正确；因为a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边可知②正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，因此(b·c)a－(c·a)b与c垂直，③不正确；(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2.④正确，故选D.答案D变式迁移1已知下列各式：①|a|2＝a2，②a·ba2＝ba，③(a·b)2＝a2·b2，④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析①中a2＝a·a＝|a||a|cos0°＝|a|2，所以①正确．②中a，b不共线时，ba无意义．③中(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ＝a2·b2cos2θ，所以③不正确．由向量的数量积的运算律知，④正确．故选B.题型二向量的模与数量积例2已知a、b满足|a＋b|＝3|a－b|，|a|＝|b|＝1，求|3a－2b|.解析由|a＋b|＝3|a－b|得，|a＋b|2＝3|a－b|2，即(a＋b)2＝3(a－b)2，∴a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，∴8a·b＝2a2＋2b2＝2|a|2＋2|b|2＝4，即a·b＝12，∴|3a－2b|＝3a－2b2＝9a2－12a·b＋4b2＝9|a|2－6＋4|b|2＝7.点评在向量的非坐标运算中，向量的数量积与向量模的转化公式|a|2＝a2起着相当重要的作用，在解题中要善于根据已知条件灵活运用公式进行转化.变式迁移2若|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|的值为________．答案22解析由(a＋b)2＝|a＋b|2，可得a2＋2a·b＋b2＝|a＋b|2.整理得169＋2a·b＋361＝576，2a·b＝46.则有|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝169－46＋361＝484＝22.题型三夹角问题例3设a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a与b具有关系|ka＋b|＝3|a－kb|(k＞0)．(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b的夹角为60°，求k的值．解析(1)∵|ka＋b|＝3|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，且|a|＝|b|＝1.即k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，∴a·b＝k2＋14k，∵k2＋1≠0，∴a·b≠0即a与b不垂直．(2)∵a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，∴a·b＝|a||b|cos60°＝12.∴k2＋14k＝12.∴k＝1.变式迁移3已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61求：(1)a与b的夹角θ；(2)|a＋b|和|a－b|；(3)若AB→＝a，AC→＝b，作三角形ABC，求△ABC的面积．解析由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6，故(1)cosθ＝－12，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝13.同理可求|a－b|＝37.(3)S△ABC＝12|a||b|sinθ＝12×4×3sin120°＝33.题型四向量的平行、垂直与数量积例4已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t为正实数，向量x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋1tb，(1)若x⊥y，求k的最小值；(2)是否存在k，t使x∥y？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解析(1)∵a＝(1,2)，b＝(－2,1)，∴a·b＝0，又∵x⊥y，∴[a＋(t2＋1)b]·(－ka＋1tb)＝0，∴－ka2＋t2＋1tb2＝0，化简整理得，k＝t2＋1t，∵t为正实数，∴k＝t2＋1t≥2，当且仅当t＝1时，k＝2，∴k的最小值为2.(2)∵x＝a＋(t2＋1)b＝(－2t2－1，t2＋3)，y＝－ka＋1tb＝(－k－2t，－2k＋1t)，假设存在正实数k，t使x∥y，则(－2t2－1)(－2k＋1t)＝(t2＋3)(－k－2t)，整理得tk(t2＋1)＋1＝0，则满足上述等式的正实数k，t不存在，所以不存在k，t使x∥y.点评本题主要考查平面向量数量积的坐标运算．第(1)问关键在于正确运用两向量垂直的充要条件来建立k与t的函数关系式，进而利用均值不等式求最值；第(2)问则是利用两向量共线的充要条件列出k与t的等式，再根据k与t为正实数实施判断.变式迁移4已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形ABCD是()A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案B解析∵AB→＝(4,0)－(1,2)＝(4－1,0－2)＝(3，－2)，DC→＝(8,6)－(5,8)＝(8－5,6－8)＝(3，－2)，∴AB→＝DC→，∴四边形ABCD为平行四边形AD→＝(5,8)－(1,2)＝(4,6)，AB→·AD→＝3×4＋(－2)×6＝0，∴AB→⊥AD→，∴四边形ABCD是矩形．AC→＝(8,6)－(1,2)＝(7,4)，BD→＝(5,8)－(4,0)＝(1,8)，AC→·BD→＝7×1＋4×8＝39≠0，∴AC→与BD→不垂直．∴四边形ABCD不是菱形，也不可能是正方形.题型五平面向量与解三角形例5在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC.(1)若a＝3，b＝4，求|CA→＋CB→|的值；(2)若C＝π3，△ABC的面积是3，求AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值．解析由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，得(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，由两角和与差的正弦公式展开得：2b2sinAcosB＝2a2cosAsinB.根据正弦定理有：2sinBcosB＝2sinAcosA，即sin2B＝sin2A，∵A、B为三角形的内角，∴A＝B或A＋B＝π2.(1)若a＝3，b＝4，则A≠B，∴A＋B＝π2，C＝π2，CA→⊥CB→，∴|CA→＋CB→|＝CA→2＋CB→2＋2CA→·CB→＝a2＋b2＝5.(2)若C＝π3，则C≠π2，∴A＝B，a＝b，三角形为等边三角形．由S△ABC＝12a2sinC＝3，解得a＝2.∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝3×2×2cos2π3＝－6.点评三角形中的正弦定理、余弦定理从某种意义上理解是平面向量在三角函数中应用的一种形式，运用正弦定理、余弦定理可以解三角形；反之，给出三角形中的边角关系，亦能解决有关三角形中的向量运算.变式迁移5已知△ABC的面积S满足3≤S≤3，且AB→·BC→＝6，AB→与BC→的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sinθcosθ＋3cos2θ的最小值．解析(1)由题意可知，AB→·BC→＝|AB→||BC→|cosθ＝6，①S＝12|AB→||BC→|sin(π－θ)＝12|AB→||BC→|sinθ，②②÷①，得S6＝12tanθ，即3tanθ＝S.由3≤S≤3，得3≤3tanθ≤3，即33≤tanθ≤1，又θ为AB→与BC→的夹角，∴θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，π4]．(2)f(θ)＝sin2θ＋2sinθcosθ＋3cos2θ＝1＋sin2θ＋2cos2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ＝2＋2sin(2θ＋π4)，∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4]，∴2θ＋π4＝3π4，即θ＝π4时，f(θ)取得最小值3.题型六有关数量积的综合题例6已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a、b满足关系|ka＋b|＝3|a－kb|(其中k＞0)．(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；(2)求将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)