保险精算利息理论基础

ActuarialScience1保险精算1.1利息度量1.1.1实际利率和实际贴现率1.1.2单利和复利1.1.3名义利率和名义贴现率2利息所谓利息（Interest），是指在一定时期内借款人向贷款人支付的使用资金的报酬。利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。Interest利息影响利息大小的要素：本金：业务开始时投资的金额时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度度量期、期：年业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻的积累值（Accumulatedvalue，或终值）。为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始时投入的本金金额称为该积累值的现值（PresentValue）3利息t期积累函数（因子）总量函数t期折现函数（因子）折现因子,记为第n期利息)(ta)(tA)(1ta0t1-------------------------------------------------------------------------------------1)(1ta)(ta)(tA()(1)nIAnAnnIk)1(1avActuarialScience5保险精算利息度量：计息时刻不同6实际利率与实际贴现率某一度量期的实际利率（Effectiveannualrate）是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投入的本金金额之比。通常用字母表示。一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字母表示。实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是用来度量利息的。id7实际利率与实际贴现率某人以1本金开始一项业务，实际利率为，则在一度量期末可收回金额，而利息（贴现）金额为，若这笔业务的实际贴现率为，则ii1idididddi1iid)1(iid1iv11ivd1vd8实际利率与实际贴现率用表示从投资日算起的第个度量期的实际利率，则：用表示从投资日算起的第个度量期的实际贴现率，则：nind)1()1()(nAnAnAinn其中，为大于等于1的整数)()1()(nAnAnAdnnnn其中，为大于等于1的整数应用实例例某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求、、、分别等于多少？1i2d2i1d解1000)0(A1020)1(A1050)2(A1(1)(0)20IAA2(2)(1)50IAA则%2100020)0(11AIi%941.2102030)1(22AIi%961.1102020)1(11AId%857.2105030)2(22AId9ActuarialScience10保险精算利息度量：积累方式不同11单利与复利考虑投资一单位本金。如果其在时的积累值为则该笔投资以每期单利计算，并将这样产生的利息称为单利（Simpleinterest）。如果其在时的积累值为则该笔投资以每期复利计算，并将这样产生的利息称为复利（Compoundinterest）。ttita1)(ttita)1()(12单利与复利单利计息时，第期的实际利率为：)1(11ni)1()1()(nananainn)1(1)]1(1[)1(niniinnin结论：关于单调递减，即常数的单利意味着递减的实际利率。13单利与复利复利计息时，第期的实际利率为：iiiinn11)1()1()1()1()(nananainn11)1()1()1(nnniiinin结论：关于为常数，即常数的复利意味着恒定的实际利率。单利与复利对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值，即。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值，即。所以长期业务一般复利计息。1t1ttiti)1(1titi)1(114应用实例例某银行以单利计息，年息为2%，某人存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后的积累值是多少？解55001.15000%)251(5000)5(5000)5(aA4.5520%)21(5000)5(5000)5(5aA元元单利复利15(0.5)5000(0.5)5000(10.52%)50001.015050Aa0.5(0.5)5000(0.5)5000(12%)5024.9Aa元元ActuarialScience16保险精算利息度量：转换频率不同17名义利率与名义贴现率“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为“名义”的。18名义利率与名义贴现率用符号记每一度量期支付次利息的名义利率。所谓名义利率（Nominalinterest）是指每个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率为。即每一个度量期的名义利率等价于每度量期的实际利率。)(mimmim/)(m/1)(mim/1mim/)(mmmii)1(1)(19名义利率与名义贴现率时间点01/m2/m…(m-1)/mm/m=1利息…余额1…1)(mim2)()()1(mmmmimimim)(11)()1(mmmi)1()()(mimimm2)()1(mimimimm1)1()(1)()()1(mmmmimiimimm1)1()(]1)1[(1)(mmimi1)1()(mmmii20名义利率与名义贴现率用符号记每一度量期支付次利息的名义贴现率。所谓名义贴现率是指每个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率为。即每一个度量期的名义利率等价于每度量期的实际利率。)(mdmmdm/)(m/1)(mdm/1mdm/)(mmmdd)1(1)(21名义利率与名义贴现率时间点01/m…(m-2)/m(m-1)/mm/m=1贴现…余额…11)(mdmmdm)(11)()1(mmmd()(1)1mmddm()(1)1mmddm)1(])1(1[11)(mmmvmdmdmmmdd)1(1)()1()()(mdmdmm2)()1(mdm2)()()1(mmmmdmd1)()()1(mmmmdmd22名义利率与名义贴现率()(1)1mmddm()(1)1mmiim11i()()1(1)(1)mmmmidimm()()1(1)(1)mmidmm应用实例例(1)求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。（2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。解(2)2(1)118%2ii(4)4(1)118%4di（1）23(2)1/2[(18%)1]27.85%i(4)1/44[1(18%)]7.623%d（2）(12)12128%1(1)(1)44di1.08368.36%i应用实例例求1万元按每年计息4次的年名义利率6%投资3年的积累值。解3(3)10000(3)10000(1)Aai11956.224(4)3410000(1)4i346%10000(1)41210000(1.015)元25利息力在很多情况下，需要度量在每一个时间点上的利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对利息在各个时间点上的度量称为利息力（或利息强度）。假设在时刻的资金总量由总量函数给出，这笔资金完全由于利息而变化，即本金既不增加也不撤回。定义式中，为该投资额在时的利息强度。tt()()()()tAtatAtatt()At26利息力复利计息时[(1)](1)ttii1lnlnvv()()()()tAtatAtat(1)ln(1)(1)ttiiiln(1)iveActuarialScience27保险精算1.2年金1.2.1期末付年金1.2.2期初付年金1.1.3连续年金28年金年金（Annuity）是指按照相等时间间隔支付的一系列款项。AnnuityActuarialScience29保险精算期末付年金30期末付年金在每个付款期间末付款的年金为期末付年金。假设一笔年金，付款期限为期，每期期末付款额为1，每期利率为，各期付款如下ni0123…2n1nn111…111时间付款额期末付年金0123…2n1nn111…111时间付款额1nvviv11nvvv1nvi21...nnvvvv0123…2n1nn1时间每年所得iiiiii31na1nniav期末付年金0123…2n1nn111…111时间付款额1(1)11(1)nii211(1)...(1)(1)nniii(1)1nii(1)1nniis12(1)(1)...(1)1nniii32ns0123…2n1nn1时间每年所得iiiiii期末付年金na21...nnvvvvns12(1)(1)...(1)1nniii121(1)(1)...(1)(1)nniiii(1)ni等式两侧同时乘以12(1)(1)...(1)1nniii(1)nnia33期末付年金(1)nnnsia经济含义：各期期末投资本金为1的年金积累制有两种算法。一种是各期期末投资本金为1，直接积累到期期末，求和即为（公式左边）；一种是先求出各期期末投资本金为1的年金现值，即，作为时刻0的一次性投资，以复利计算，求出期期末的积累值，即。两种计算结果相同。nsnna(1)nnaiin34应用实例例计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及积累值。解10100.0611()16%1000100010007.360097360.096%a10100.06(16%)110001000100013.1808013180.806%s元元年金现值年金积累值35应用实例例某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需存入多少钱才能达到其目的。解120.00510000Ds12120.005(10.5%)110000/10000/()0.5%Ds元设每月需存入D元，有则：3610000/12.3356810.66ActuarialScience37保险精算期初付年金38期初付年金在每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。假设一笔年金，付款期限为期，每期期初付款额为1，每期利率为，各期付款如下ni0123…2n1nn1111…11时间付款额期初付年金na1nviv11nvv1nvd1nndav211...nvvv0123…2n1nn1时间每年所得dddddd390123…2n1nn1111…11时间付款额期初付年金0123…2n1nn1111…11时间付款额1(1)(1)1(1)niii21(1)(1)...(1)(1)nniiii(1)1nid(1)1nnids12(1)(1)...(1)(1)nniiii400123…2n1nn1时间每年所