79第二章 逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础内容提要本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数，为后续课程打下基础。本章的内容2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.1概述在数字电路中，1位二进制数码“0”和“1”不仅可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑，并按某种因果关系进行运算时，称为逻辑运算，最基本的三种逻辑运算为“与”、“或”、“非”，它与算术运算的本质区别是“0”和“1”没有数量的意义。故在逻辑运算中1+1=1(或运算）2.1.1二值逻辑和逻辑运算数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高、低电平，可以用二值变量（取值只能为0，l）来表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函数的的数学工具来描述。2.1.2数字电路的特点及描述工具逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用，它首先是由英国数学家乔治.布尔（GeorgeBoole）提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑函数的基础。注意：1.逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表示变量，叫逻辑变量。2.逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数，是进行十进制（0～9）数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有两个：“0”和“1”。并且“0”和“1”没有数值意义，它只是表示事物的两种逻辑状态。2.2逻辑代数中的三种基本运算在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种逻辑运算。2.2.1与运算与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件都满足时，事件才会发生，即“缺一不可。ABY图2.2.1与逻辑电路如图2.2.1所示电路，两个串联的开关控制一盏灯就是与逻辑事例，只有开关A、B同时闭合时灯才会亮。设开关闭合用“1”表示，断开用“0”表示；灯亮用“1”表示，灯灭用“0”表示（逻辑赋值），则可得到表2.2.1所示的输入输出的逻辑关系，称为真值表表2.2.1与逻辑真值表ABY000011111000输出输入从表中可知，其逻辑规律服从“有0出0，全1才出1”这种与逻辑可以写成下面的表达式：BAY称为与逻辑式，这种运算称为与运算ABY图2.2.1与逻辑电路＆ABY图2.2.2与门逻辑符号ABY也可以用图2.2.2表示与逻辑，称为逻辑门或逻辑符号，实现与逻辑运算的门电路称为与门。2.2.2或运算或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条件满足时，事件就会发生，即“有一即可若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为nAAAY21ABY图2.2.3或逻辑电路如图2.2.3所示电路，两个并联的开关控制一盏灯就是或逻辑事例，只要开关A、B有一个闭合时灯就会亮。用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表2.2.2所示，其逻辑规律服从“有1出1，全0才出0”其逻辑式为BAY表2.2.2或逻辑真值表ABY000011111110输出输入上式说明：当逻辑变量A、B有一个为1时，逻辑函数输出Y就为1。只有A、B全为0，Y才为0。其逻辑门符号如图2.2.4所示，实现或逻辑运算的门电路称为或门。ABY图2.2.4或门逻辑符号1ABY若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为nAAAY213.非逻辑运算条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反如图2.2.5所示电路，一个开关控制一盏灯就是非逻辑事例，当开关A闭合时灯就会不亮。非逻辑运算也叫逻辑非或非运算、反相运算，即输出变量是输入变量的相反状态。其逻辑式为AY图2.2.5非逻辑电路R用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表2.2.3所示表2.2.3非逻辑真值表AY0110AY注：上式也可写成等或AYAY~其逻辑门符号如图2.2.6所示，实现非逻辑运算的门电路称为非门AY图2.2.6非门逻辑符号1AY以上为最基本的三种逻辑运算，除此之外，还有下面的由基本逻辑运算组合出来的逻辑运算4.与非（NAND）逻辑运算与非运算是先与运算后非运算的组合。以二变量为例，布尔代数表达式为：)(ABY其真值表如表2.2.4所示表2.2.4与非逻辑真值表ABY000011110111输出输入其逻辑规律服从“有0出1，全1才出0”实现与非运算用与非门电路来实现，如图2.2.7所示5.或非（NOR）运算或非运算是先或运算后非运算的组合。以二变量A、B为例，布尔代数表达式为：)(BAY＆ABY图2.2.7与非门逻辑符号ABY表2.2.4与非逻辑真值表ABY000011110111输出输入或非逻辑规律服从有“1”出“0”全“0”出“1”或非运算用或非门电路来实现，如图2.2.8所示表2.2.5或非逻辑真值表ABY000011110001输出输入其真值表如表2.2.5所示ABY图2.2.8或门逻辑符号1ABY与或非运算是“先与后或再非”三种运算的组合。以四变量为例，逻辑表达式为：)(CDABY上式说明：当输入变量A、B同时为1或C、D同时为1时，输出Y才等于0。与或非运算是先或运算后非运算的组合。在工程应用中，与或非运算由与或非门电路来实现，其真值表见书P22表2.2.6所示，逻辑符号如图2.2.9所示6.与或非运算图2.2.9与或非门逻辑符号ABYCDABY1CD＆BABABAY其门电路的逻辑符号如图2.2.10所示其布尔表达式（逻辑函数式）为7.异或运算表2.2.6异或逻辑真值表ABY000011110110输出输入图2.2.10异或门逻辑符号ABYABY=1符号“⊕”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取值不同时Y=1，即不同为“1”相同为“0”，异或运算用异或门电路来实现其真值表如表2.2.6所示异或运算的性质AAAAAAAA01011.交换律：ABBA2.结合律：CBACBA)()(ACABCBA)(3.分配律：推论：当n个变量做异或运算时，若有偶数个变量取“1”时，则函数为“0”；若奇数个变量取1时，则函数为1.4.BAABBABAY)(⊙8.同或运算：其布尔表达式为表2.2.7同或逻辑真值表ABY000011111001输出输入ABY图2.2.11同或门逻辑符号=ABY符号“⊙”表示同或运算，即两个输入变量值相同时Y=1，即相同为“1”不同为“0”。同或运算用同或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门，其真值表如表2.2.7所示其门电路的逻辑符号如图2.2.11所示2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式表2.3.1逻辑代数的基本公式序号123456789公式00AAA1AAA0AAABBACBACBA)()(CABACBA)(BABA)(AA)(序号101112131415161718公式AA0AAA1AAABBACBACBA)()()()(CABACBABABA)(100111A返回A返回BA·0=0A+0=AA·1=AA+1=12.交换律、结合律、分配律a.交换律：AB=BAA+B=B+Ab.结合律：A（BC）=（AB）CA+（B＋C）=（A＋B）+Cc.分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1.关于变量与常数关系的定理说明：由表中可以看出链接Aa.互补律：10AAAAb.重叠律：A·A=AA+A=Ac.非非律：AA)(d.吸收律：A+AB=AA(A+B)=ABABAAe.摩根定律：BAAB)(BABA)(注：以上定律均可由真值表验证3.逻辑函数独有的基本定理链接B2.3.2若干常用公式表2.3.2为常用的一些公式序号212223242526公式ABABAABAA)(CABABCCABAABAABABAA)()(ABAABABAACABABCDCABA表2.3.2常用公式说明：1.A＋AB＝A：在两个乘积项相加时，如果其中一项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉；2.A＋AB＝A＋B：在两个乘积项相加时，如果其中一项含有另一项的取反因子，则此取反因子多余的，可从该项中删除；3.AB＋AB＝A：在两个乘积项相加时，如果它们其中的一个因子相同，而另一个因子取反，则两项合并，保留相同因子；4.A（A＋B）＝A：在当一项和包含这一项的和项相乘时，其和项可以消掉5.AB＋AC＋BC＝AB＋AC：在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉；公式AB＋AC＋BCD＝AB＋AC的原理和上述相同6.A（AB）＝AB：如果某项和包含这一项的乘积项取反相乘时，则这一项可以删掉；7.A（AB）＝A：当某个项取反和包含这一项的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后逻辑函数的化简打好基础2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理内容：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式证明：方程的左边有A的地方代入G得：B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC＝BA十BD十BC方程的右边有A的地方代入G得：B(A十D)十BC＝BA十BD十BC故B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC例2.4.1若B(A十C)＝BA十BC，现将所有出现A的地方都代入函数G＝A十D，则证明等式仍成立证明：设G＝BCBAAB)(代入公式左右的B中CBABCAGAABCAG)()(）（左CBACBACBA)()(同理设G＝B＋C代入式子左右的B例2.4.2试用代入规则证明摩根定律适用多变量的情况可得CBABCAGA)(右故：CBAABC)(可得内容：若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将Y式中所有的“.”换为“+”,“+”换为“.”,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，所有原变量（不带非号）变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数Y的反函数（补函数）Y。利用摩根定律，可以求一个逻辑函数的反函数。2.反演定理注意：1.变换中必须保持先与后或的顺序；2.对跨越两个或两个以上变量的“非号”要保留不变；解：由摩根定理DCBDACADCBCCBDACADCCBAY))((或直接求反DCBDACADCBCCBDACADCCBADCCBADCCBADCCBAY)()()(])([)(])([])([例2.4.3已知Y＝A（B＋C）＋CD，求Y解：由反演定理例2.4.4若Y＝[（AB）＋C＋D]+C，求反函数DCCBCADCCCCBCACDCBACDCBACDCBAY)())()(])([(])