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[读教材·填要点]1．含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解法不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a|x|＞a{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}∅∅R{x∈R|x≠0}2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔.ax＋b≥c或ax＋b≤－c3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解．(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键．(3)构造函数，结合函数的图象求解．[小问题·大思维]1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．[研一题][例1]解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3；(2)|2x＋5|＞7＋x；(3)1x2－2≤1|x|.[精讲详析]本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．(1)法一：原不等式等价于不等式组|x－2|＞1，|x－2|≤3，即x＜1或x＞3，－1≤x≤5，解得－1≤x＜1或3＜x≤5，所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．法二：原不等式可转化为：①x－2≥0，1＜x－2≤3，或②x－2＜0，1＜－x－2≤3，由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．法三：原不等式的解集就是1＜(x－2)2≤9的解集，即x－22≤9，x－22＞1，解得－1≤x≤5，x＜1或x＞3，∴－1≤x＜1或3＜x≤5.∴原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x，可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，整理得x＞2或x＜－4.∴原不等式的解集是{x|x＜－4或x＞2}．(3)①当x2－2＜0且x≠0，即当－2＜x＜2，且x≠0时，原不等式显然成立．②当x2－2＞0时，原不等式与不等式组|x|＞2x2－2≥|x|等价，x2－2≥|x|即|x|2－|x|－2≥0，∴|x|≥2，∴不等式组的解为|x|≥2，即x≤－2或x≥2.∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．[悟一法]绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①当a＞0时，|f(x)|＜a⇒－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.②当a＝0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a⇔f(x)≠0.③当a＜0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a⇔f(x)有意义．(2)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[g(x)]2⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0.(3)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)，②|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)可正也可负)．若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．(4)形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.(5)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|＞f(x)⇔f(x)＜0，|f(x)|＜f(x)⇔x∈∅.[通一类]1．(2011·江苏高考)解不等式x＋|2x－1|＜3.解：原不等式可化为2x－1≥0，x＋2x－1＜3，或2x－1＜0，x－2x－1＜3.解得12≤x＜43或－2＜x＜12.所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜43}.[研一题][例2]解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.[精讲详析]解答本题，可以采用零点分段法求解，也可以转化为分段函数，借助函数图象求解．法一：当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3，解得：x≤－32.当－1x1时，原不等式可以化为x＋1－(x－1)≥3，即2≥3.不成立，无解．当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3.所以x≥32.综上，可知原不等式的解集为x|x≤－32或x≥32.法二：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，即y＝－2x－3，x≤－1；－1，－1x1；2x－3，x≥1.作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x≤－32或x≥32时y≥0，即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.所以原不等式的解集为－∞，－32∪32，＋∞.[悟一法](1)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．(2)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式．不妨设a＜b，于是f(x)＝－2x＋a＋b－c，x≤a，b－a－c，a＜x＜b，2x－a－b－c，x≥b..这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．[通一类]2．解不等式|2x＋1|－|x－4|＞2.解：法一：令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝－x－5，x≤－12，3x－3，－12＜x＜4，x＋5，x≥4.作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|与函数y＝2的图象，它们的交点为(－7,2)和(53，2)．所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪(53，＋∞)．法二：当x≥4时，(2x＋1)－(x－4)＞2，解得x＞－3，∴x≥4.当－12≤x＜4时，(2x＋1)＋(x－4)＞2，解得x＞53，∴53＜x＜4.当x＜－12时，－(2x＋1)＋(x－4)＞2，解得x＜－7，∴x＜－7.综上可知，不等式的解集为{x|x＜－7或x＞53}.[研一题][例3]设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．[精讲详析]本题考查绝对值不等式的解法．解答本题应先对a进行分类讨论，求出函数f(x)的最小值，然后求a的取值范围．若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．若a＜1，f(x)＝－2x＋a＋1x≤a，1－a，a＜x＜1，2x－a＋1，x≥1，f(x)的最小值为1－a.若a＞1，f(x)＝－2x＋a＋1，x≤1，a－1，1＜x＜a，2x－a＋1，x≥a，f(x)的最小值为a－1.所以∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[悟一法]含有参数的不等式的求解问题分两类，一类要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a并没有进行讨论，但去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两个不等式组的解集合并，即得该不等式的解集．[通一类]3．设函数f(x)＝|2x－4|＋1.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．解：(1)由于f(x)＝－2x＋5，x2，2x－3，x≥2，则函数y＝f(x)的图象如图所示．(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，当且仅当a≥12或a－2时，函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象有交点．故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－2)∪[12，＋∞)．本课时在高考中基本上以考查含绝对值不等式的解法为主，2012年新课标全国卷将绝对值不等式的解法与恒成立问题结合在一起进行考查，很好的考查了学生分析问题、解决问题的能力．[考题印证](2012·新课标高考)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[命题立意]本题主要考查含绝对值不等式的解法，利用绝对值三角不等式求最值的方法．[解](1)当a＝－3时，f(x)＝－2x＋5，x≤2，1，2＜x＜3，2x－5，x≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．点击下图片进入: