2A 第二章 导热基本定律与稳态导热

ShanghaiJiaoTongUniversity缪正清上海交通大学2012.2.传热传质学ShanghaiJiaoTongUniversity第二章、导热基本定律与稳态导热本章首先研究导热的基本概念和基本定律，建立导热微分方程。在此基础上，对典型的一维、二维稳态导热问题求分析解。然后，介绍肋片换热。2.1导热基本定律2.2导热微分方程2.3一维稳态导热（通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热）2.4通过肋片的导热2.5具有内热源的导热及多维导热ShanghaiJiaoTongUniversity2.1导热基本定律线索:ShanghaiJiaoTongUniversity1.导热基本概念(1)温度场热力学的自发过程告诉我们：能量总是自发地从高温物体传向低温物体，其中温差是热量传递的推动力。物体的温度分布形成温度场稳态温度场：一维温度场：二维温度场：三维温度场：温度场还可以用图线表示。一般是画出等温线。等温线是等温面与截面的交线。由于场内的任何一点，在同一时刻只能有一个温度，所以等温线或等温面是不会相交的。ShanghaiJiaoTongUniversity(2)温度梯度假定在温度场内有两个等温面，如图2-1所示。A点所在的等温面的温度为t,与之相邻的一个等温面的温度为t+t,现问A点的温度变化率？因A点的温度变化率与方向有关，A点沿l方向的温度变化率为：图2-1.等温面、温度梯度及热流梯度示意图Alltlim0Alt温度梯度是A点处最大的温度变化率，是一个矢量，其方向沿着等温线的法线方向，并指向温度增加的一面，用符号t或gradt表示。ShanghaiJiaoTongUniversity哈米尔顿算子：故，t在直角坐标系中表示为,注意：热流方向与温度梯度方向相反。nntntgradtt=zkyjxit=ztkytjxtiShanghaiJiaoTongUniversity2.傅里叶定律（Fourier’slaw）导热的基本定律，反映了热传导的基本规律。(W)或者，该定律的意义是：单位时间内传导的热量与温度梯度和垂直于热流方向上的截面积成正比，方向沿着温降方向。Fourier’slaw以微分形式揭示了导热的数学本质，反映影响导热的各种物理、几何参数间的关系，是导热问题研究的基础。nntFQnntqtgradtShanghaiJiaoTongUniversity3．导热系数导热系数是Fourier定律表示式中的比例系数，它表示当温度梯度为1时通过单位面积的热流量。(材料性质、温度、压力、湿度、材料多孔度、方向性等)W/(moC)导热系数是通过实验测定的。实验测定导热系数的方法分类：–稳态测定方法–非稳态测定方法通常导热系数：金属液体气体非金属固体的导热系数在很大范围内变化，数值高的接近液体，数值低的甚至低于空气导热系数的数量级。图2-3(P38-39)示出了多种物质导热系数对温度的关系。)(方向性等、湿度，材料多孔度，材料性质，温度，压力fShanghaiJiaoTongUniversity大多数材料的导热系数随温度的变化可按线性近似,即,式中，b为常数。导热系数很小的材料在工程上有重要的用途。隔热材料（热绝缘材料，保温材料）：W/(moC)石棉、矿渣棉、硅藻土、岩棉板、岩棉玻璃布缝毡，膨胀珍珠岩，膨胀蛭石及膨胀塑料等。岩棉玻璃布缝毡W/(moC)空气在，W/(moC)上述这些效能高的隔热材料都呈蜂窝状多孔性结构。)1(0bt2.0032.0Co200~002.0ShanghaiJiaoTongUniversity呈蜂窝状的隔热材料的传热机理：蜂窝固体结构的导热穿过微小气孔的导热温度更高时还有辐射由此得到进一步提高隔热效果的技术措施，用于某些需要特殊隔热效果的场合。抽真空，以降低空气导热系数设置多层间隔板，以降低辐射各向异性材料：某些材料各向结构不同（微观），不同方向上的导热系数各不相同。木材，石墨以及多层抽真空结构的隔热材料等。ShanghaiJiaoTongUniversity2.2导热微分方程导热微分方程建立在Fourier定律与能量守恒定律基础上。由于坐标系不同，就有不同的数学表达式。本节只详细地推导直角坐标系内的导热微分方程，对圆柱坐标系的导热微分方程只作公式介绍。1.直角坐标系的导热微分方程设物体各向同性，，，均为常数,在物体内取微元体，cdxdydzdVShanghaiJiaoTongUniversity根据能量守恒定律，对于微元体：三个方向上导入的热量+内热源发出的热量=三个方向上导出的热量+内能增量。(*)根据fourier定律，并按Tayor级数展开，略去二阶导数以后的各项：所以x方向净导入热量：genzyxQQQQddEQQQdzzdyydxxdydzxtQxdydzxtQdxxdxdydzxtx)(xQdxxQdxdydzxtx)(ShanghaiJiaoTongUniversity同理,设单位时间内单位体积内热源的生成率为，则，将上述各式代入式（*），经整理得，式中,yQdyyQdxdydzyty)(zQdzzQdxdydzztz)(dxdydzQQgen.Q.)(DDtcdxdydzddExtxytyztzQ.DDtcxxttDDtyytzztShanghaiJiaoTongUniversity所以，固体导热方程为：当导热系数为常数，无内热源（）时，上式进一步简化为：式中，，，为导温系数，也称热扩散率。它是描述非稳态导热过程的重要物理量。稳态导热的微分方程为:即在固体中：0x，0y，0zxtxytyztzQ.tcQ.taztytxt1222222casm/20222222ztytxt02t（Laplace方程）ShanghaiJiaoTongUniversity用同样的方法可以导出圆柱坐标系和球坐标系的导热微分方程式：无内热源，，一维稳态导热，在不同坐标系中通式：式中，n=0,直角坐标系；n=1,柱坐标系；n=2,球坐标系；taQzttrrtrrt1.112222222taQtrtrrtrrr1.sin1sinsin112222222const01rtrrrnnShanghaiJiaoTongUniversity圆柱坐标系与球坐标系中的微元体的表示，参见P43.图2-7.ShanghaiJiaoTongUniversity2.边界条件和初始条件求导热微分方程必须要满足边界条件和初始条件。对于稳态问题，只要求给定边界条件。第一类边界条件：给定边界上的温度值。稳态：tw=常数；非稳态：0,tw=f1()第二类边界条件：给定边界上的热流密度。稳态：qw=常数；非稳态：0,第三类边界条件：给定边界物体与周围流体的换热。即，和。以物体冷却为例：在非稳态时，式中，和可为时间的函数。当流体温度为常数时，其温度专门用表示。)(2fntwftfwwttntfttShanghaiJiaoTongUniversity2-3一维稳态导热（通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热）无限大平壁、圆筒壁、球壳的导热，但温度场不随着时间而变时，均为典型的一维稳态导热问题。1.通过平壁的导热t1,t2不随时间而变化。,F=常数方程:边界条件：求解结果:dxdtFQ=常数21,,,0ttxttx)/(21FttQ/21ttq图2-6.单层平壁ShanghaiJiaoTongUniversity上式揭示了和之间的内在联系。分析上式：q为热的转移量，为造成热转移的动力，分母为影响热转移的阻力。其实，这一关系在自然界的其它转移过程也是成立的，如电量、动量、质量的转移过程：所以，一般地，,,q/21ttqt过程的转移量过程的阻力过程的推动力（势差）tShanghaiJiaoTongUniversity比较:电路中的欧姆定律导热的微分方程因此，在与欧姆定律的类比中，导热公式中的分母叫做热阻。即，或,热阻概念的引入，使得可以利用电路中的串并联电阻的计算公式来计算传热过程的合成热阻，从而简化传热过程的计算。下面以此为例，计算多层平壁的导热问题。RUI/tq/qtRtQtRtShanghaiJiaoTongUniversity多层平壁：如客机座舱，锅炉炉墙等。给定:根据热流量相等，=常数根据比例关系，根据电热类比：注意：当导热系数为温度的线性函数时，即，时，取计算区域内的平均值代入。图2-7.多层平壁321,,ttt31,........3,1.........32141RRRtt)1(0bt1121/ttq2232/tt3343/tt33221141///ttq111jiijRqttShanghaiJiaoTongUniversity2.通过圆筒壁内的导热(油管、气管、火焰筒)设长为l，内外径r1,r2温度t1,t2,导热系数假如，可以简化为一维稳态导热：圆柱坐标一维导热方程：边界条件：通解：温度分布:l)(rft图2-8.多层圆筒壁0)(drdtrdrd11,ttrr22,ttrr21lnCrCt)/ln()/ln(112121rrrrtttt（2-26）ShanghaiJiaoTongUniversity由温度分布，可以求出温度梯度，然后利用Fourier定律求出Q.取微元：将温度分布代入上式,或对于圆筒壁的总面积，热阻为：(2-29)drdtrldrdtFQ2)/ln()(21221rrttlQ)/ln()(21221ddttlQlddQtRt2)/ln(12ShanghaiJiaoTongUniversity对于多层圆筒壁与多层平壁一样可运用串联热阻迭加法求出导热总热量（以三层壁为例）：空心球壁的导热，内外球壁保持均匀恒定温度时，在球坐标系内亦为一维稳定导热，其温度分布和热量计算公式为：其热阻为,或（为壁厚）33422311241/)/ln(/)/ln(/)/ln()(2ddddddttlQ)11(11121211ddddtttt2121212111)(4ddttrrttQ)11(4121rrRt21ddRtShanghaiJiaoTongUniversity2-4．通过肋片的导热为了强化传热，往往采用肋片形式的换热器。如暖气片，发动机水箱散热片，气缸外套的肋片，家用空调的散热器，锅炉铸铁式省煤器的肋片等。按肋的外形分：直肋，环肋，针形肋等。ShanghaiJiaoTongUniversity３．通过等截面直肋片的导热–研究内容：温度沿直肋片长度的分布;通过肋片的散热量。ShanghaiJiaoTongUniversity假设：稳态导热，•长肋片：肋片的高度肋片厚度，•一维温度变化：因为一般为金属，很大，任一截面相同，Ht求解时对问题的简化：h,(对流换热系数).constcA单位深度1z时，肋片横截面积，P截面周长，t