47锁相技术第2章

《锁相技术》第2章第二章环路在同步状态下线性模型的建立一般二阶线性系统时域和频域响应分析二阶锁相环路时域响应和频域响应分析环路的稳定性研究本章内容及分析方法：本章研究锁相环在同步状态下的跟踪性能及指标，在工程设计上有实用价值。涉及到的一些公式是工程设计中常用的。《锁相技术》第2章§2.1线性相位模型与传递函数一、线性相位模型的建立锁相环路同步时，很小，鉴相器工作在“0”点附近，此时鉴相特性可以用一条直线来代替。此直线的斜率为：)(te鉴相器的模型：00()sin()()cos()[/]()eeddedddedeutUtdutKUtUVraddt特性曲线如图00()sin()()cos()[/]()eeddedddedeutUtdutKUtUVraddt则有：)()()(sintUtKtUededed用直线代替正弦鉴相特性《锁相技术》第2章线性化相位模型线性化条件tKtuedd线性化数学模型－dK1θt()et+2tddeutKt()6et鉴相器的线性化的相位模型《锁相技术》第2章1()()()sin()eodeodptptKUFptKKU动态方程：非线性微分方程线性化的动态方程为：)()()()(01tpFUKtptpede)()()()(1tpKFtptpee环路总增益dUKK0PLL时域线性相位模型：时域《锁相技术》第2章动态方程的复频域表达形式：)()()()(1ssKFssssee拉氏变换)()(sFtf)()(ssFdttdfPLL复频域的线性相位模型：复频域《锁相技术》第2章线性系统的传递函数的定义：二、传递函数)(sH响应函数的拉氏变换驱动函数的拉氏变换初始条件2o1()H(s)=()ss开环1、开环传递函数：)(1)()(11sssFKsssFK)(2、闭环传递函数：21()()()sHss)()(sKFssKF《锁相技术》第2章3、误差传递函数1()()()()()eeesHsssHssKFs)()()(121sss)(1sH)(sKFss、、之间的关系：)(sHo)(sHe)(sH)(1)()(sHsHsHoo)(11)(sHsHoe)(1)(sHsHe是研究锁相环常用的三种传递函数，它们之间的关系在工程设计中常用。)(sHo)(SH)(sHe具体环路的传递函数取决于LF《锁相技术》第2章三、二阶锁相环路的线性动态方程与传递函数RC积分滤波器二阶环路传递函数RC积分滤波器的传递函数：111)(ssF线性动态方程)(11)()(11tsKtstsee二阶线性微分方程)(1)()()(1)(1112112sssssKsssseee整理《锁相技术》第2章传递函数：12221111121211112111211()111()()()()()()()()()1()()()1()eeeeeoFssKssssssssssssHssKssKHsHssKsKHsHssHss方法一方法二ssFK)()(sHo)(sH)()(sKFssKF)(sHe)(sKFss采用其它两种滤波器的锁相环的动态方程及传递函数的获得和以上相同。1()1Fss《锁相技术》第2章表2-1二阶锁相环线性化后，成为一个二阶线性系统，动态方程为二阶线性微分方程，传递函数有两个极点。《锁相技术》第2章§2.2二阶线性系统的一般性能一、二阶系统及其描述如图所示的RLC电路应用克希霍夫定律，可以建立方程：()1()()()1()()ioditLRititdtUtdtCitdtUtC)(tuo《锁相技术》第2章经拉氏变换得到：)()(11)()(sUsIsCsRIsLsIi)(sUo)()(sCsUsIoRLC电路的时域表达式：)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo二阶线性微分方程RLC为系统的电路参数一般为分析方便，采用系统参数：LCn1LRn2无阻尼振荡频率为阻尼系数RLC电路的复频域表达式：)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo《锁相技术》第2章用系统参数描述的RLC电路的时域表达形式)()()(2)(1222tutudttdudttudioononRLC电路的传递函数11)()()(2RCsLCssUsUsHio2222)()()(nnniosssUsUsH用电路参数的描述用系统参数的描述总结：1、二阶线性系统的传递函数、微分方程可以用电路参数或系统参数来描述，后者在系统设计时，会带来方便。《锁相技术》第2章常用三种锁相环系统参数和电路参数之间的关系：2、不同LF的环路系统参数与电路参数之间的关系《锁相技术》第2章三种常用锁相环用系统参数描述的传递函数相同的传递函数可以对应不同的物理系统，如RC积分滤波器二阶环和RLC电路。《锁相技术》第2章二、RLC电路的时间响应及其指标)()()(2)(1222tutudttdudttudioonon当时，对上述方程求解：)(1ttui当时：无阻尼状态0ndtn)()(tutuio00.10.2*当时：欠阻尼状态10暂态过程有振荡，最后稳定在稳态值上。当时：临界阻尼状态1当时：过阻尼状态1一般二阶系统都设计到欠阻尼状态，锁相环也一样。单位阶跃输入激励下的输出响应《锁相技术》第2章描述暂态过程的指标：1.延时时间dt2.上升时间rt3.峰值时间pt4.暂态时间st5.最大过冲量%100)()()(oopopuutuM6.稳态误差()e延时时间上升时间峰值时间暂态时间最大过冲量稳态误差以上参数由系统或电路参数决定的，影响暂态性能《锁相技术》第2章三、频率响应2222)()()(nnniosssUsUsH)(sH令nx222222()1()12()1()(1)4()2()1oioioiUjxUjxxjxUjxUjxxxUjxxArgarctgUjxx)(jxH)(jxH222222()1()12()1()(1)4()2()1oioioiUjxUjxxjxUjxUjxxxUjxxArgarctgUjxx222222()1()12()1()(1)4()2()1oioioiUjxUjxxjxUjxUjxxxUjxxArgarctgUjxx)(jxArgH)(jH2222)()()(nnniojsUsUsH《锁相技术》第2章§2.3环路对输入暂态信号的响应研究内容：环路在同步状态时，当输入信号的频率、相位发生变化时，环路会出现一个跟踪过程。暂态过程稳定状态暂态相位误差稳态相位误差研究对象：三种常用的一阶滤波器构成的二阶环《锁相技术》第2章输入信号相位阶跃信号频率阶跃信号频率斜升信号211()2tRtut1tut1ttut单位阶跃函数()ut《锁相技术》第2章求输出相位响应和误差响应的方法写出输入相位的拉氏变换根据具体环路写出闭环传函和误差传函对、作反拉氏变换得到、根据)()()(12sHss)()()(1sHsseet1s1sHesHs2set2te研究方法《锁相技术》第2章一、误差的时间响应)(tet0)(1t1、输入相位阶跃信号)(1)(1tt单位阶跃函数)(1t拉氏变换ss)(1①理想二阶锁相环路的误差响应222221212()22()()()ennnnesssssssssABsssssssss)()()(1ssHsee222221212()22()()()ennnnesssssssssABsssssssss系统的两个极点)1(21ns)1(22ns其中《锁相技术》第2章12)1(22A12)1(22B对进行拉普拉斯逆变换得到：)(setstseBeAet21)(当时：1)1sinh11(cosh)(222ttetnnten当时：10)1sin11(cos)(222ttetnnten)1()(tetnten当时：1《锁相技术》第2章由的表达式做出曲线（如图）)(tettne)(tn)(te10分析：a.t=0时，环路还没有起控，环路有最大的相差。)0(eb.环路稳态相差。0)(ec.系统的响应速度比RLC回路要快的多，因为环路中增加了一个相位超前因子。②采用无源比例积分滤波器的二阶环分析方法和结果和理想二阶环相近（略）③采用RC积分滤波器的二阶环（和RLC回路一样）1110《锁相技术》第2章2、输入频率阶跃信号时112()1()()tttss拉氏变换)(1)(1tttt)(1t0①理想二阶锁相环路的误差响应)()()(1ssHsee22()2ennsss求解)(te当时：12222sin11()11()sin101()1nnntnentenntnenttetettte当时：12222sin11()11()sin101()1nnntnentenntnenttetettte当时：102222sin11()11()sin101()1nnntnentenntnenttetetttetn)(ten01110频率阶跃量《锁相技术》第2章分析：a.t=0时，环路相差为零。暂态过程中最大相差随的增大而减小。b.环路稳态相差。0)(ec.暂态过程的响应速度和相位阶跃情况差不多。《锁相技术》第2章【计算举例】P30（二）、P33假如环路的输入信号频率阶跃为100Hz,阻尼系数ζ=2,测得最大相位误差为0.44rad。问40ms之后的相位误差为多大？解：由P30（二）图2-6(a)P34图2-9(a)可见,当ζ=2时,最大相差(ωn／Δω)θe(t)=0.22rad,故ωn=Δω×0.22／0.44=0.5×2π×100=314rad/s。在40ms之后,ωnt=314×40×10-3=12.56rad,由P30（二）图2-6(b)P34图2-9(b)得(ωn／Δω)θe(t)=0.01rad。因此,40ms后的θe(t)=0.01×2π×100/314=2×10-2rad。《锁相技术》第2章②RC积分滤波器二阶环当时：1)1cosh21sinh121(2)(2222ttetnntnnen当时：1)2(2)(tetntnnen当时：10)1cos21sin121(2)(2222ttetnntnnen固定相差，和时间没有关系衰减项环路的稳态相差：ne2)(K