挑战中考数学压轴题_强化训练[1]

目录第一部分压轴题强化训练题专题训练一等腰三角形的存在性问题专题训练二相似三角形的存在性问题专题训练三直角三角形的存在性问题专题训练四平行四边形的存在性问题专题训练五梯形的存在性问题专题训练六面积的存在性问题专题训练七相切的存在性问题专题训练八线段和差最值的存在性问题专题训练九由比例线段产生的函数关系问题专题训练十由面积产生的函数关系问题专题训练十一代数计算及通过代数计算进行说理问题专题训练十二几何证明及通过几何计算进行说理问题第二部分填空题选择题中的动态图形训练题一、图形的平移二、图形的翻折三、图形的旋转四、三角形五、四边形六、圆七、函数的图象及性质参考答案挑战中考数学压轴题强化训练篇马学斌编这是一本训练题。这本训练题是《挑战中考数学压轴题》系列的第三本，是供冲刺数学高分和满分的同学在最后一个阶段训练用的。中考数学压轴题的灵魂是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化。中考数学压轴题的共同特点是题目的情景都是动态的，不同的是在图形运动变化的过程中，探究的内容不同，这些内容分为三大类。第一类为函数图象中点的存在性问题，探究在函数的图象上是否存在符合条件的点。第二类为图形运动中的函数关系问题，这部分压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中，探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况探求函数的定义域。第三类为图形运动中的计算说理问题，这部分压轴题的主要特征是先给出一个图形进行研究，然后研究图形的位置发生变化后结论是否发生变化，进而进行证明。解决这部分压轴题的关键是抓住图形运动过程中的数据特征和不变关系，通过计算进行说理。我们把这三大类的动态题目分为12个专题训练，每个专题训练由六个板块组成，【五年扫描】把这个专题训练近五年的50份样卷涉及到的地区介绍一下；【专题攻略】简单介绍这个专题的一般解题步骤和策略；【针对训练】三道题目是根据历年的中考压轴题改编的；【三年真题】选择三道近三年的中考题供同学们训练；【两年模拟】选择两道近两年的中考模拟题供同学们训练；【自编原创】是我们参考近十年的中考题，编制的一道训练题。在选择题和填空题中，也有一些动态图形的题目，我们把这些题目分为7个专题，提供给同学们训练。压轴题肯定是有难度的，因此我们在书的后半部分提供了详尽的解答过程，个别题目还提供了多种解法。这个解答过程，保持了《挑战中考数学压轴题》系列的优势和特点，用尽可能多的图形帮助同学们理解题意。专题训练一等腰三角形的存在性问题典藏回顾我们收集、解读近5年全国各地的中考数学压轴题，以全省（市）统一考试的北京、上海、重庆、山西、陕西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市为单位统一考试的江苏、浙江、广东、山东、湖北、湖南、福建、四川、辽宁等地的试题为样本，分析各地考试压轴题的常见类型。等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、重庆和江苏、浙江、广东、湖北等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点．专题攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．针对训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．（09上海24）2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．（08南汇25）3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．三年真题4．（12临沂26）如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（11湖州24）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1图26．（10南通27）如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？两年模拟7．（2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF//AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），联结DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．8．（宁波七中2012届保送生推荐考试第26题）如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB＝3，BC＝32，直线y＝323x经过点C，交y轴于点G．（1）点C、D的坐标分别是C（），D（）；（2）求顶点在直线y＝323x上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y＝323x平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．自编原创9．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，CE的长为y．（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．备用图备用图参考答案:1．因为D（3，4），所以OD＝5，3cos5DOP．①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，3cos5OEDOPOP，52OE，所以256OO．此时点P的坐标为25(,0)6．②如图2，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5，0)．③如图3，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0)．第1题图1第1题图2第1题图32．在Rt△ABC中，10862222BCABAC.因此4cos5ACB.在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.第2题图1第2题图2第2题图3①如图1，当CPCQ时，102tt，解得103t(秒).②如图2，当QPQC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM＝152PCt.在Rt△QMC中，45cos5CMtQCMCQt，解得259t(秒).③如图3，当PCPQ时，过点P作PN⊥BC于N，则CN＝1122QCt.在Rt△PNC中，142cos5102tCNPCNCPt，解得8021t(秒).综上所述，当t为秒秒、秒、2180925310时，△PQC为等腰三角形.3．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．如图，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)．因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．①当AP＝AQ时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得0m或43m．所以符合条件的点P不存在．②当PA＝PQ时，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得25m．所以(425,0)P．③当QA＝QP时，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得12m．所以(1,0)P．第3题图4．（12临沂26）（1）如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23OC．所以点B的坐标为(2,23)．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,23)，232(6)a．解得36a．所以抛物线的解析式为23323(4)663yxxxx．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以224(23)16y．解得1223yy．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以22224(23)2yy．解得23y．综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)．第4题图5．（11湖州24）（1）因为PC//DB，所以1CPPMMCBDDMMB．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．（2）在△APD中，22(4)ADm，224APm，222(2)44(2)PDPMm．①当AP＝AD时，2(4)m24m．解得32m（如图1）．②当PA＝PD时，24m244(2)m．解得43m（如图2）或4m（不合题意，舍去）．③当DA＝DP时，2(4)m244(2)m．解得23m（如图3）或2m（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．第5题图1第5题图2第5题图3[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图1，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PCMBCMBA．因此12PC，32m．②如图2，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42mm．解得43m．（3）点H所经过的路径长为54．思路是这样的：如图4，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．第5题图4第5题图6．（10南通27）(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此DCEBCEBF，即8mxxy．整理，得y关于x的函数关系为218yxxmm．(2)如图1，当m＝8时，2211(4)288yxxx．因此当x＝4时，y取得最大值为2．(3)若12ym，那么21218xxmmm．整理，得28120xx．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y＝2代入12