想一想,做一做在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?作图观察,我们可以发现:等腰三角形两底角的平分线相等;两腰上的高、中线也分别相等.我们知道,观察或度量是不够的,感觉不可靠.这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它,让人们坚定不移地去承认它,相信它.下面我们就来证明上面提到的线段中的一种:等腰三角形两底角的平分线相等.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的角平分线.例1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.21EDCBA求证:BD=CE.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中,∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2.∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).2121已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的角平分线.例1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.43EDCBA求证:BD=CE.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠3=∠ABC,∠4=∠ACB,∴∠3=∠4.在△ABD和△ACE中,∵∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A.∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).2121已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的高.1.证明:等腰三角形两腰上的高相等.求证:BD=CE.EDCBA分析:要证BD=CE,就需证BD和CE所在的两个三角形的全等.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的中线.2.证明:等腰三角形两腰上的中线相等.求证:BD=CE.EDCBA分析:要证BD=CE,就需证BD和CE所在的两个三角形的全等.刚才,我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等,还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示?把腰二等分的线段相等,把底角二等分的线段相等.如果是三等分、四等分……结果如何呢?1.在等腰三角形ABC中,(1)如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,那么BD=CE吗?如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?如果AD=AC,AE=AB呢?由此你得到什么结论?3131313141414141(1)在△ABC中,如果AB=AC,∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,那么BD=CE.(2)在△ABC中,如果AB=AC,AD=AC,AE=AB,那么BD=CE.n1n1n1n1简述为:(1)在△ABC中,如果AB=AC,∠ABD=∠ACE,那么BD=CE.(2)在△ABC中,如果AB=AC,AD=AE,那么BD=CE.2.前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等,反过来,有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?议一议已知:在△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC.分析:只要构造两个全等的三角形,使AB与AC成为对应边就可以了.比如作BC的中线,或作角A的平分线,或作BC上的高,都可以把△ABC分成两个全等的三角形.CBA定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边.)等腰三角形的判定定理:小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?我们来看一位同学的想法:如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等.假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B,但已知条件是∠B≠∠C.“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾,因此AB≠AC你能理解他的推理过程吗?CBA再例如,我们要证明△ABC中不可能有两个直角,也可以采用这位同学的证法.假设有两个角是直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°,可得∠A+∠B=180°,但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾,因此△ABC中不可能有两个直角.上面的证法有什么共同的特点呢?在上面的证法中,都是先假设命题的结论不成立,然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾,从而证明命题的结论一定成立.我们把它叫做反证法.已知:如图,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC且∠1=∠2.求证:AB=AC.随堂练习21BACED本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段,并由特殊结论归纳出一般结论,接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”,最后结合实例了解了反证法的含义.如图,BD平分∠CBA,CD平分∠ACB,且MN∥BC,设AB=12,AC=18,则△AMN的周长是.分析:要求△AMN的周长,则需求出AM+MN+AN,而这三条边都是未知的.由已知AB=12,AC=18,可使我们联想到△AMN的周长需转化成与AB、AC有关系的形式.而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现,因此,找到问题的突破口.NMCBAD