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掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质，能综合运用抛物线的基本知识，分析探究与抛物线相关的综合问题．______1____.FlFlFl平面内与一定点和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物．抛物线的①定义线的2.抛物线的标准方程与几何性质00(0)(0)222222xyppFFpppxyxpy①准线；②轴；③轴；④，；⑤，；⑥；⑦；【要点指南】⑧；⑨1.(2010·四川卷)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8【解析】由y2＝8x，得p＝4，故选C.2.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.18B．－18C．8D．－8【解析】将方程y＝ax2化为x2＝1ay，所以准线方程为－14a＝2，所以a＝－18.3.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)【解析】由抛物线方程y2＝－8x，得2p＝8，所以p2＝2，从而抛物线的焦点为(－2,0)．4.(2010·泰州模拟)若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝－1.【解析】由题意知抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，点F在直线ax－y＋1＝0上，所以a＋1＝0，所以a＝－1.5.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|AB|等于8.【解析】|AB|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.一抛物线的定义及应用【例1】已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方相交于点A，AK⊥l，垂足为K，求△AKF的面积．【解析】如图所示，由已知，F(1,0)，根据抛物线定义知，|AF|＝|AK|，又kAF＝3，AK⊥l，所以∠KAF＝∠AFx＝60°，所以△AKF为正三角形，所以∠KFO＝60°，|BF|＝2，所以|KF|＝|BF|cos60°＝4，所以S△AKF＝12×42×sin60°＝43.【点评】充分应用抛物线的定义及图形的几何特征解题，简化运算．过抛物线y2＝8x的焦点F作抛物线的弦AB，若AB中点Q的横坐标为3，求弦AB的长．素材1【解析】抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，过A、B、Q分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1、Q1.由抛物线定义知，|AB|＝|FA|＋|FB|＝|AA1|＋|BB1|＝2|QQ1|＝2(3＋2)＝10.二抛物线的标准方程与几何性质【例2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．【分析】确定抛物线方程的形式→待定系数法确定参数p→明确结论.【解析】方法1：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则焦点为F(0，－p2)，准线方程为y＝p2，因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，则m2＝6pm2＋－3＋p22＝5，解得p＝4m＝±26，所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.方法2：如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则焦点为F(0，－p2)，准线l：y＝p2，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，所以3＋p2＝5，所以p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±26.【点评】(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法，利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值．(2)“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，许多圆锥曲线问题均可根据定义而获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形悟数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．(1)(2010·合肥二检)直线l过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(B)A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x素材2(2)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于2.【分析】(1)由定义转化距离求参数p来确定方程．(2)“点差法”求AB的斜率，确定方程，进而求面积．【解析】(1)如图，分别过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M、N，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，又四边形AMNB为直角梯形，故AB的中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x＝－p2，所以4＝2＋p2⇒p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1y22＝4x2，⇒(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)⇒y2－y1x2－x1＝4y1＋y2＝42×2＝1.所以线段AB所在直线的方程为y－2＝x－2，即y＝x，由y2＝4xy＝x⇒x2－4x＝0⇒x＝0或x＝4，所以A(0,0)，B(4,4)，所以|AB|＝42＋42＝42.F(1,0)，F到线段AB的距离d＝22，所以S△ABF＝12|AB|d＝2.三抛物线的综合应用【例3】如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y2＝8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；(2)若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，求证：|FP|－|FP|cos2α为定值，并求此定值．【解析】(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px，则2p＝8，从而p＝4.因此焦点F(p2，0)的坐标为(2,0)，又准线方程的一般式为x＝－p2，从而所求准线l的方程为x＝－2.(2)证法1：设直线AB方程为y＝tanα(x－2)，把x＝1tanαy＋2代入y2＝8x，整理得y2－8tanαy－16＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点E(x0，y0)，则y0＝y1＋y22＝4tanα，x0＝1tanαy0＋2＝4tan2α＋2，设P(x3,0)，则因为PE⊥AB，所以4tanα－04tan2α＋2－x3·tanα＝－1，所以x3＝6＋4tan2α，所以|PF|＝x3－2＝4＋4cos2αsin2α＝4sin2α，所以|FP|－|FP|cos2α＝4sin2α×2sin2α＝8.证法2：如图，作AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，则由抛物线的定义知|FA|＝|AC|，|FB|＝|BD|.记A、B的横坐标分别为xA、xB，则|FA|＝|AC|＝xA＋p2＝|FA|cosα＋4，解得|FA|＝41－cosα，则类似地有|FB|＝4－|FB|cosα，解得|FB|＝41＋cosα，记直线m与AB的交点为E，|FE|＝|FA|－|AE|＝|FA|－|FA|＋|FB|2＝12(|FA|－|FB|)＝12(41－cosα－41＋cosα)＝4cosαsin2α.所以|FP|＝|FE|cosα＝4sin2α，故|FP|－|FP|cos2α＝4sin2α(1－cos2α)＝4·2sin2αsin2α＝8.【点评】分析探究几何性质并充分应用抛物线的定义是本例求解的关键．A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)．(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点．素材3【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)．(1)kOA＝y1x1，kOB＝y2x2.因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.因为y21＝2px1，y22＝2px2，所以y212p·y222p＋y1y2＝0.因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.(2)证法1：设直线AB方程为x＝my＋n代入抛物线y2＝2px，得y2＝2p(my＋n)，即y2－2pmy－2pn＝0，由(1)知y1·y2＝－4p2，所以－2pn＝－4p2，所以n＝2p，所以直线AB方程为x＝my＋2p，该直线过定点(2p,0)．证法2：因为y22－y21＝(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)，又x1≠x2，所以y2－y1x2－x1＝2py1＋y2.所以直线AB的方程为y－y1＝2py1＋y2(x－x1)＝2py1＋y2(x－y212p)，所以y＝2py1＋y2x－y21y1＋y2＋y1＝2py1＋y2x＋y1y2y1＋y2＝2py1＋y2x－4p2y1＋y2＝2py1＋y2(x－2p)．所以直线AB过定点(2p,0)．备选例题如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一直线，与抛物线y＝x2相交于A、B两点．一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y＝－c交于点P、Q.(1)若OA→·OB→＝2，求c的值；(2)若P为线段AB的中点，求证：直线QA为此抛物线的切线．【解析】(1)设直线AB的方程为y＝kx＋c，将该方程代入y＝x2，得x2－kx－c＝0.令A(a，a2)，B(b，b2)，则ab＝－c.因为OA→·OB→＝ab＋a2b2＝－c＋c2＝2，解得c＝2或c＝－1(舍去)，故c＝2.(2)证明：由题意知Q(a＋b2，－c)，直线AQ的斜率为kAQ＝a2＋ca－a＋b2＝a2－aba－b2＝2a.又y＝x2的导数为y′＝2x，所以点A处抛物线的切线的斜率为2a.因此，直线AQ为该抛物线的切线．||1{|1}|||2{|}001111MFPMdPMMFdMFPMedeeee抛物线定义的集合表示：，即．圆锥曲线的统一定义为．当时，曲线为椭圆；当时，曲线为双曲线．类比圆锥曲线统一定义．；当时，曲线为抛物线．21122121220()(2).pypxpFABAxyBxyABxxp求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数的值．同时，知道抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间是相依并存的，知道其中一个，就可以求出其他两个．焦点弦公式：对于过抛物线焦点的弦长，可用焦半径公式推出弦长公式．设过抛物线的焦点的弦．定义及标准方程的理解．为，，，，，则有(3)与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点，一条准线，一个顶点，一条对称轴，且离心率为常数1.41.45pxyxy抛物线标准方程中参数的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号，则抛物线的开口方向为轴或轴的正方向；一次项前面是负号，则抛物线的开口方向为轴或轴的负方向．