概率论与数理统计(浙大版)第二章课件

第二章随机变量及其分布关键词：随机变量概率分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量的函数第一节随机变量在上一章中，我们把随机事件看作样本空间的子集；这一章里我们将引入随机变量的概念，用随机变量的取值来描述随机事件。一、随机变量引例：E1:将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况。e1=（正，正）2e2=（正，反）1e3=（反，正)1e4=（反，反）0令X=“正面出现的次数”，则X是一个随着试验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：由上可知，对每一个样本点e，都有一个X的取值X(e)基本结果(e)正面出现的次数X(e)与之对应。我们把X称为定义在这个试验上的随机变量。E2：掷一枚骰子，观察出现的点数.令X=“正面出现的点数”E3：某产品的使用寿命X,X=0.反面正面令,0,1XE4：掷一枚质地均匀的硬币，观察正反面出现的情况.一般地，对每一个随机试验，我们都可以引入一个变量X，使得试验的每一个样本点都有一个X的取值X(e)与之对应，这样就得到随机变量的概念.1、随机变量的定义:设E是一个随机试验，其样本空间为S={e}，在E上引入一个变量X，如果对S中每一个样本点e，都有一个X的取值X(e)与之对应，我们就称X为定义在随机试验E的一个随机变量.（2）引入随机变量的目的：用随机变量的取值范围表示随机事件，利用高等数学的工具研究随机现象。事件“正面至少出现一次”可表示为:“X≥1”；2、随机变量的说明（1）随机变量的表示：常用字母X,Y,Z，….表示;例如：上例中，事件“正面出现两次”可表示为:“0X≤2”表示事件“正面至少出现一次”。“X=2”；例如：上例中P(X=2)=1/4；P(X≥１)=3/4；P(0X≤2)=3/4；随机变量的取值具有一定的概率：(4)随机变量的类型：这两种类型的随机变量因其取值方式的不同各有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方式的不同。具有随机性:在一次试验之前不知道它取哪一个值，但事先知道它全部可能的取值。（3）随机变量的特点:离散型与连续型随机变量。例1（用随机变量的取值表示随机事件）一报童卖报，每份报0.50元,其成本为0.30元。报馆每天给报童1000份报纸，并规定卖不出的报纸不得退回。解：分析{报童赔钱}{卖出报纸的钱不够成本}当0.50X1000×0.3时，报童赔钱.故{报童赔钱}{X600}令X=“报童每天卖出的报纸份数”试将“报童赔钱”这一事件用X的取值表示出来。（1）随机变量X可能取哪些值？（2）随机变量X取某个值的概率是多大？3、随机变量的概率分布引入随机变量后,上述说法相应变为下列表述方式：对于一个随机试验，我们关心下列两件事情：（1）试验会发生一些什么事件？（2）每个事件发生的概率是多大？对一个随机变量X，若给出了以上两条，我们就说给出了随机变量X的概率分布(也称分布律）。这一章我们的中心任务是学习离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布.§2离散型随机变量及其分布如果随机变量X所有可能的取值是有限个或无穷可列个，则称X为离散型随机变量。一、离散型随机变量的定义及其分布律1.离散型随机变量的定义2.离散型随机变量的分布律要掌握一个离散型随机变量的分布律，必须且只需知道以下两点：(1)X所有可能的取值:(2)X取每个值时的概率:,3,2,1,)(,,,,21kpxXPxxxXkkk称(1)式为离散型随机变量X的分布律.)1(,3,2,1)(kpxXPkk注:离散型随机变量X的分布律可用公式法和表格法描述。1)公式法:2)表格法:,3,2,1)(kpxXPkk21kpppxxX21X012pk1/42/41/4例1：将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次数X”的分布律。解：在此试验中，所有可能的结果有：e1=（正，正）；e2=（正，反）；e3=（反，正)；e4=（反，反）。于是，正面出现的次数X”的分布律：图形表示程序x=[0,1,2];pk=[1/4,2/4,1/4];figure('color','w')plot(x,pk,'r.','MarkerSize',31)ylim([00.6])xlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);figure('color','w')plot(x,pk,'r.','MarkerSize',31)holdonplot(x,pk,'r-.')ylim([00.6])holdoffxlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);figure('color','w')bar(x,pk,0.1,'r')ylim([00.6])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);xlim([0,2.3])text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);figure('color','w')stem(x,pk,'r.','MarkerSize',31)ylim([00.6])xlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);3、离散型随机变量分布律的性质例２:设随机变量X的分布律为：1)2,3,2,1,0)1kkkpkp.10,,2,1,10)(kakXP试求常数a..11101apkk解：由为常数。0,....,2,1,0,!)(kkakXPk例3:设随机变量X的分布律为：xkkekx0!提示：试求常数a.0001,!!.kkkkkkpaaaekkae解：由得，练习:设随机变量X的分布律为：,3,2,1,)32(}{kbkXpk试确定常数b.解：由分布律的性质，有11)32()(kkkbkXP1213232bb21b297.003.03解：X所有可能的取值为：0，1，2，3；}{}{取到正品；取到次品令AA97.0)(,03.0)(APAP则：)()0(AAAPXP)()1(AAAAAAAAAPXP例4:设有产品100件，其中3件是次品。从中有放回地任取3件，求“取得次品件数X”的分布律。211397.003.0C397.030397.0C3,2,1,0,97.003.0)(33kCkXPkkk97.003.03297.003.0223C33303.0C)()2(AAAAAAAAAPXP这个分布其实就是将要介绍二项分布。我们先来看一个重要的试验——伯努利（Bernoulli）试验。303.0)()3(AAAPXP二、伯努利（Bernoulli）试验及二项分布(1)n次独立重复试验1、伯努利（Bernoulli）试验将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.(2)n重伯努利试验满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验:①每次试验都在相同的条件下重复进行；②每次试验只有两个可能的结果:A及③每次试验的结果相互独立。nkppCkXPknkkn,...,2,1,0,)1()(若用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数,则n次试验中事件A发生k次的概率为：证明：在n重伯努利试验中，事件A在前k次出现，而在后n-k次不出现的概率为:若满足上述条件的试验重复进行n次,则称这一串试验为n重伯努利(Bernoulii)试验。.)(pAPA且knkknppCkXP)1()(.,2,1,0nkknkknkppAAAAAAP)1()(______而事件A在n次试验中发生k次的方式为：knC所以为二项展开式中的一项而由于,)1(,1)1()1(0knkknnknknkknppCppppC:,,记作的二项分布服从参数为称pnX),(~pnBX2、二项分布用X表示n重Bernoulli试验中事件A发生的次数，，则X的分布律为:;...,2,1,0)1(}{nkppCkXPknkkn此时称X服从参数为n,p的二项分布,记为X～B(n,p).例1：将一枚均匀的骰子掷4次，求3次掷出5点的概率.pAP)(且解：令A=“掷出5点”，点”“掷不出5A令X=“4次抛掷中掷出5点的次数”，则65)(,61)(APAP且4次抛掷中3次掷出5点的概率为：)61,4(~bX32456561)3(334CXP程序和结果x=0:4;y=binopdf(x,4,1/6);figure('color','w')plot(x,y,'r.','MarkerSize',31)figure('color','w')bar(x,y,0.1,'r')pxequal3=y(4)pxequal3=0.01543209876543例2：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。1,2,3,420iXAii解：以记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。以表示事件“第人维护的台中发生故障不能及时维修”，则知80台中发生故障不按第一种方法。能及时维修的概率为：123412PAAAAPAPX20,0.01,Xb而故有：1021kPXPXk12020010.010.990.0169kkkkC12340.0169PAAAA即有：80,80,0.01,80YYb按第二种以记台中同一时刻发生故障的台数，此时故台中发生故障而不能及时维修方法。的概率为：380800410.010.990.0087kkkkPYC例3：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。(3,)Ybp331()(1),0,1,2,3kkkPYkCppk2232(2)(1)PYCpp解：这是三重伯努利试验例4：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0p1，设命中X次，(1)求X的概率分布律；(2)求至少有一次命中的概率。(,)Xbnp1()(1)0,1,,kknknPXkCppkn，2(1)1(0)1(1)nPXPXp(1)1nlimPX解：这是n重伯努利试验同时可知：上式的意义为：若p较小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。例5：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一