概率论与数理统计

第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第1页•国家级“十五”规划教材《概率论与数理统计教程》•高等教育出版社•茆诗松、程依明、濮晓龙第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第2页数理统计：第五章……第八章概率论：第一章.…..第四章两大内容第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第3页参考书目•概率论与数理统计：陈希孺科学出版社，2000.3•概率论与数理统计：李贤平等复旦大学出版社2003.5第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第4页简要“概率论与数理统计”是一门从数量侧面研究自然界中随机现象的统计规律性的学科。第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第5页§1.1随机事件及其运算§1.2概率的定义及其确定方法§1.3概率的性质§1.4条件概率§1.5独立性第一章随机事件与概率第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第6页2.随机现象1.1.1随机现象：自然界中的有两类现象1.确定性现象•每天早晨太阳从东方升起;•水在标准大气压下加温到100oC沸腾;•掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？•一天内进入某超市的顾客数;•某种型号电视机的寿命;§1.1随机事件及其运算第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第7页1.1.1随机现象•随机现象：在一定的条件下，并不总出现相同结果的现象称为随机现象.•特点：1.结果不止一个;2.事先不知道哪一个会出现.•随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为统计规律性.第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第8页1.随机试验(E)——对随机现象进行的实验与观察.它具有两个特点：随机性、重复性.2.样本点——随机试验的每一个可能结果.3.样本空间(Ω)——随机试验的所有样本点构成的集合.4.两类样本空间：离散样本空间样本点的个数为有限个或可列个.连续样本空间样本点的个数为无限不可列个.1.1.2样本空间第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第9页1.随机事件——某些样本点组成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.3.必然事件(Ω)4.不可能事件(φ)——空集.2.基本事件——Ω的单点集.1.1.3随机事件第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第10页表示随机现象结果的变量.常用大写字母X、Y、Z…表示.1.1.4随机变量第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第11页在试验中，A中某个样本点出现了，就说A出现了、发生了，记为A.维恩图(Venn).事件的三种表示用语言、用集合、用随机变量.事件的表示第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第12页包含关系：AB,A发生必然导致B发生.相等关系:A=BAB而且BA.互不相容：A和B不可能同时发生.1.1.5事件间的关系第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第13页解：1)显然，B发生必然导致A发生，所以BA;.2)又因为A发生必然导致B发生，所以AB，由此得A=B.例1.1.1口袋中有a个白球、b个黑球，从中一个一个不返回地取球。A=“取到最后一个是白球”，B=“取到最后一段是白球”。问A与B的关系？第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第14页•并：ABA与B至少有一发生•交：AB=ABA与B同时发生•差：ABA发生但B不发生•对立：A不发生1.1.6事件的运算A第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第15页事件运算的图示ABABAB第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第16页德莫根公式;ABABABAB1111;nnnniiiiiiiiAAAA第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第17页记号概率论集合论Ω样本空间,必然事件空间φ不可能事件空集样本点元素ABA发生必然导致B发生A是B的子集AB=φA与B互不相容A与B无相同元素ABA与B至少有一发生A与B的并集ABA与B同时发生A与B的交集ABA发生且B不发生A与B的差集A不发生、对立事件A的余集A第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第18页基本事件互不相容，基本事件之并=Ω注意点(1)AAΩAAAAAAAAAABABB第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第19页注意点(2),ABABBABAABAAB()()ABABAABABAABAB第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第20页若A1，A2，……，An有1.Ai互不相容；2.A1A2……An=Ω则称A1，A2，……，An为Ω的一组分割.样本空间的分割第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第21页1.若A是B的子事件，则AB=()，AB=()2.设A与B同时出现时C也出现，则()①AB是C的子事件；②C是AB的子事件；③AB是C的子事件；④C是AB的子事件.课堂练习③BA第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第22页3.设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件为（）①甲种产品滞销，乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系①A={|xa|＜σ}，B={xa＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④AB相容不相容第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第23页5.试用A、B、C表示下列事件：①A出现；②仅A出现；③恰有一个出现；④至少有一个出现；⑤至多有一个出现；⑥都不出现；⑦不都出现；⑧至少有两个出现；ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABACBCA第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第24页设Ω为样本空间，F是由Ω的子集组成的集合类，若F满足以下三点,则称F为事件域1.1.7事件域1nnAA1.ΩF;2.若AF，则F;3.若AnF，n=1,2,…,则F.第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第25页§1.1习题3，4，5，6，9.第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第26页•直观定义——事件A出现的可能性大小.•统计定义——事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.•古典定义；几何定义.§1.2概率的定义及其确定方法第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第27页•非负性公理：P(A)0;•正则性公理：P(Ω)=1;•可列可加性公理：若A1,A2,……,An……互不相容，则1.2.1概率的公理化定义11()iiiiPAPA第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第28页•从n个元素中任取r个，求取法数.•排列讲次序，组合不讲次序.•全排列：Pn=n!•0!=1.•重复排列：nr•选排列：1.2.2排列与组合公式!(1)......(1)()!rnnPnnnrnr第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第29页组合•组合：!!()!!rrnnnnPCrrnrr11rnrnrCr•重复组合：第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第30页求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注意第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第31页加法原理完成某件事情有n类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法.乘法原理完成某件事情需先后分成n个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第32页随机试验可大量重复进行.1.2.3确定概率的频率方法()()nnAfAn进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第33页频率稳定性的例子P14表1.2.1.P15表1.2.2.P15表1.2.3.第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第34页古典方法设为样本空间，若①只含有限个样本点;②每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4确定概率的古典方法第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第35页•抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次•Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此样本空间中的样本点等可能.•Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}此样本空间中的样本点不等可能.注意第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第36页古典方法确定概率的几种计算手段1.用排列组合直接计算2.用对立事件公式计算3.用加法公式计算4.利用对称性计算特别注意掌握一些常见模型和问题第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第37页例1.2.1六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率.解：用乘法原则直接计算644221865432115所求概率为P28习题1.2(16)第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第38页第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第39页n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2P28习题1.2(14)第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第40页n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较)解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：22(2)2(1)nnnn例1.2.3第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第41页性质1.3.1P()=0.注意:逆不一定成立.§1.3概率的性质第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第42页性质1.3.2(有限可加性)若AB=，则P(AB)=P(A)+P(B).可推广到n个互不相容事件.性质1.3.3(对立事件公式)P()=1P(A).1.3.1概率的可加性A第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第43页性质1.3.4若AB，则P(AB)=P(A)P(B)；若AB，则P(A)P(B).性质1.3.5P(AB)=P(A)P(AB).1.3.2概率的单调性第一章随机事件与概率华东师范大学25January2020第44页(6)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)1.3.3概率的加法公式第一章随机事件与概率华