概率论与数理统计1-1~1-5

20.1.251概率论与数理统计赵健宝QQ:349848298办公室：70123电话：[phone]概率论与数理统计研究内容：研究随机现象数量规律的一门学科。概率论与数理统计概率论部分（1－5章）数理统计部分（6－11章）概率论的发展简史概率vs高数概率论的发展简史一、萌芽阶段（16世纪）16世纪，卡丹诺《论赌博》16世纪末欧洲保险行业二、概率论的雏形阶段•随机博弈：简单的材料来研究随机现象。例如：“抛硬币”。特性：多次试验中的频率稳定性。•1657荷兰Huygens《论赌博中的计算》•法国Fermat与Pascal的通信。建立了概率与数学期望等概念和它们的基本性质和演算方法。三、概率论的正式形成时期•1713年，瑞士Bernoulli《推理的艺术》“大数定理”。大数定理：经验上的频率稳定性推测理论化。当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这个常数就是事件A的概率.1}{limnpnnPA•1781法国demoiver《机遇原理》。提出：1、概率乘法法则2、“正态分布”和“正态分布率”为“中心极限定理”的建立奠定了基础。四、概率论成熟时期•1917年苏联科学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系。1933年柯尔莫戈洛夫完善并给出完整的概率论公理结构。从此，更现代意义的完整的概率论臻于完成。五、概率论的简单应用1、几何上的应用1706年法国buffon《偶然性的算术实验》开启了几何概率的研究。“浦丰问题”：采用概率的方法求圆周率π。2、寿命上的应用丹尼尔.伯努利对牛痘的大规模应用问题的研究，得出种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论。3、人口统计和保险上的应用欧拉写出了《关于死亡率和人口增长率问题的研究》、《关于孤儿保险》等文章。4、命中率上的应用：泊松《打靶概率研究报告》随机现象1、向上抛粉笔必然下落；2、同性电荷必然相互排斥；3、抛一枚硬币，观察正面朝上还是反面朝上；4、买彩票中奖。随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象.确定性现象随机现象1.1随机试验E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况.E2：观察某一电子元件（如灯泡〕的寿命.1.1随机试验1.可以在相同的条件下重复进行；2.每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。随机试验的三个特点：1.2样本空间、随机事件（一）样本空间E1：掷一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况.E2：观察某一电子元件（如灯泡〕的寿命.S1＝{H，T}S2＝{t|t0}样本空间样本点1.2样本空间、随机事件（一）样本空间3.在单位圆内任意取了点，记录它的坐标.应用练习1.记录一个班一次数学考试的平均分数.2.生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数.样本空间S1＝样本空间S2＝样本空间S3＝1.2样本空间、随机事件（二）随机事件关心：样本点所组成的集合。满足某种条件的那些例如:灯泡寿命的样本空间为：S4＝{t|t0}关心:灯泡的寿命是否t500满足t500的样本点组成S4的一个子集:A={t500}随机事件:试验E样本空间S的子集,称为随机事件.1、事件发生在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.2、基本事件由一个样本点组成的单点集，称为基本事件3、必然事件S4、不可能事件1.2样本空间、随机事件（三）事件间的关系与事件的运算1)包含关系SABBA如果A发生必导致B发生.,ABBABA且2）相等关系1.2样本空间、随机事件（三）事件间的关系与事件的运算SAB3)和事件BA退出前一页后一页目录A或B中至少有一个发生SAB4)积事件ABBAA,B同时都发生.1.2样本空间、随机事件（三）事件间的关系与事件的运算5)差事件BASABBAASBAABBA发生当且仅当A发生B不发生.1.2样本空间、随机事件（三）事件间的关系与事件的运算6)互不相容（互斥）BA7)对立事件（逆事件）SBABASAABSBA请注意互不相容与对立事件的区别！1.2样本空间、随机事件（三）事件间的关系与事件的运算8)随机事件的运算规律交换律:ABBAABBA,结合律:CBACBACBACBA1.2样本空间、随机事件（三）事件间的关系与事件的运算分配律:CABACBA德摩根律:,ABABABABCABACBA8)随机事件的运算规律练习：P24:2（一）频率1.3频率与概率定义在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为A发生的频数。比值称为事件A发生的频率，并记成。AnnAn)(Afn由定义，可以推出频率具有的基本性质：1、非负性1)(0Afn2、规范性：1)(Sfn3、可加性：若是两两互不相容的事件，则k21AAA，，)()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf#频率反映了事件A发生的频繁程度。利用事件A发生的频率来表示事件Ａ在一次事件中发生的可能性大小，可行么？表1－１试验序号n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表１－2实验者nnHfn(H)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005结论：抛硬币次数n较小时，频率在0与1之间随机波动，其幅度较大，但随着n增大，频率呈现出稳定性。即当n逐渐增大时总是在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5.)(Hfn)(Hfn)(Hfn结论：实验重复大量次数，以频率来表征事件A发生的可能性大小是合适的。)(Afn（一）概率1.3频率与概率定义设E是随机实验，S是样本空间。对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件Ａ的概率，如果集合函数Ｐ（.）满足下列条件：1、非负性0)(PA2、规范性：1)(PS3、可列可加性：若是两两互不相容的事件，则，，21AA)()(P)(P2121AAAAＰ通过概率的定义，可以得到概率的几个重要性质：性质1、0P）（性质2、有限可加性：若是两两不相容事件，则)()()(P)A(P21k21kAPAAAAＰk21AAA、、、A1A5A3A4A2性质3、若，则BA)()()(),()(APBPABPBPAP且SAB性质4、1)(AP性质5、)(1)(APAPSAA性质6、加法公式：)()()()(ABPBPAPBAP练习：P24：3、4SABS1={H,T}1.4等可能概型（古典概型）E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况.E2：抛一颗色子，观察出现的点数.S2={1,2,3,4,5,6}试验E1，E2共同特点：1、试验的样本空间只包含有限个元素；2、试验中每个基本事件发生的可能性相同.一、示例1.4等可能概型（古典概型）二、定义：若试验E满足：1、S中样本点有限(有限性)2、出现每一样本点的概率相等(等可能性)称这种试验为等可能概型(或古典概型)。三、计算方法：试验E的样本空间样本点个数为n,若事件A包含k个基本事件，则nkP（A）=中基本事件的总数中包含的基本事件数SA1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。2、乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。3、排列(Arrangement)：一个排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列。排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，用符号mnA4、组合(Combination)。：一个组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组。组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，用符号!)1()2)(1(AACmnnmmnnnnmmmmnC例1将一枚硬币抛掷三次。（1）设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P（A1）；（2）设事件Ａ２为“至少有一次出现正面”，求Ｐ（Ａ２）例2一个口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球.从袋中取球两次，每次随机地取一只.考虑两种取球方式：（a）第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球.这种取球方式叫做放回抽样.(b)第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球.这种取球方式叫做不放回抽样.试分别就上面两种情况求（1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率.例3将n只球随机地放入N（N=n)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限).例4设有N件产品，其中D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k（k=D）件次品的概率是多少？例5袋中有a只白球，b只红球，k个人一次在袋中取一只球，（1）作放回抽样;（2）作不放回抽样，求第i（i=1,2,…,k）人取到白球（记为事件B）的概率（k=a+b）.例61~2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？例7将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生.问（1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？例8某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？作业：P25：3（3）、6、8、111.5条件概率（一）条件概率例1将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况.设事件A为“至少有一次为H”，事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.S={HH，HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}.在事件A发生的条件下事件B发生的概率为：P（BIA）31STHHHTTHTABAB=)()(ANABN=)()()()(SNANSNABN==)()(APABP条件概率：设A，B是两个事件，且P(A)0,称P（BIA）=为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。)()(APABPABABS)()()(BPABPBAP例2一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品.从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率P（BIA）（二）乘法公式设P(A)0，P(B)0则有P(AB)=P(A)P(BlA)=P(B)P(AlB).推广：设A,B,C为事件，且P(AB)0，则有P(ABC)=P(A)P(BlA)P(ClAB).ABABS)()()(APABPABP)()()(BPABPBAP例3设袋中装有r只红球，t只白球.每次自袋中任取一球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取球同色的球.若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.例4设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为，若第