概率论与数理统计6

《数理统计》——对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值——对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、决策,从而找出所研究的对象的规律性数理统计的分类描述统计学推断统计学第六章数理统计的基本概念第六章参数估计(第七章)假设检验(第八章)回归分析(第十一章)方差分析(第九章)推断统计学总体——研究对象全体元素组成的集合所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.总体和样本§6.1基本概念§6.1样本——从总体中抽取的部分个体.称为总体X的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.),,,(21nxxx),,,(21nXXX用表示,n为样本容量.样本空间——样本所有可能取值的集合.个体——组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标,可看作随机变量X的某个取值.用表示.iX若总体X的样本满足:),,,(21nXXX一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是nXXX,,,21(1)与X有相同的分布nXXX,,,21(2)相互独立),,,(21nXXX则称为简单随机样本.简单随机样本N/n10.总体中个体总数样本容量设总体X的分布函数为F(x),则样本niinxFxxxF121)(),,,(总若总体X的密d.f.为f(x),则样本niinxfxxxf121)(),,,(总的联合d.f.为),,,(21nXXX的联合分布函数为设是取自总体X的一个样本,),,,(21nXXX),,,(21nrrrg),,,(21nxxxg为一实值连续函数,且不含有未知参数,),,,(21nXXXg则称随机变量为统计量.),,,(21nxxx若是一个样本值,称),,,(21nXXXg的一个样本值为统计量定义统计量例是未知参数,22,,),(~NX若,已知,则为统计量.是一样本,),,,(21nXXXniiniiXXnSXnX122111,1是统计量,其中),(~2NXi则但niiX1221不是统计量.常用的统计量niiXnX11)1(为样本均值niiXXnS12211)2(为样本方差niiXXnS1211为样本标准差),,,(21nXXX设是来自总体X的容量为n的样本,称统计量nikikXnA11)3(为样本的k阶原点矩nikikXXnB11)4(为样本的k阶中心矩例如21222111nniiSXXnSnnBXA(5)顺序统计量与极差设),,,(21nXXX为样本,),,,(21nxxx为样本值,且**2*1nxxx当),,,(21nXXX取值为),,,(21nxxx时,定义r.v.nkxXkk,,2,1,*)(则称统计量)()2()1(,,,nXXX为顺序统计量.其中,}{max},{min1)(1)1(knknknkXXXX称)1()(XXDnn为极差注样本方差与样本二阶中心矩的不同2nS2SniniiniiXXXX12112222122XnXnXnii212XnXnii)(22XAn故22221)(1nSnnXAnnS222XABniiiniiXXXXXX12212)2()(推导关系式221nSnnS1）推导设2)(,)(XDXE则niiXnEXE1121nXD2）221)(nnSEn22)(SE222)(XEEASEnXEXDXnEnii212122221n21nn221)(nSnnESE221nESnn例1从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.解),,,(1021xxx令)199,200,235,196,228,215,240,185,243,210(例143.433)(9110122iixxs101225.47522101iixA0.390)(101109101222iixxsB19.217)199200235196228215240185243230(101x则例2在总体中,随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解)36/3.6,52(~2NX故6/3.6528.506/3.6528.53)8.538.50(XP8239.0)1429.1()7143.1(例2例3设总体X的概率密度函数为101)(xxxxf为总体的样本,求),,,(5021XXX(1)X的数学期望与方差(2))(2SE(3))02.0(XP解(1)0d)()(11xxxXEXE1001d2501)(501)(501)(1022xxxXEXDXD例38414.0)01.0,0(~NX近似(3)由中心极限定理(2).2/1)()()(22XEXDSE2.0Φ121.0002.012)02.0(1)02.0(XPXP确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一正态总体是最常见的总体,本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.§6.2(1)正态分布则niiiniiiniiiaaNXa12211,~特别地,nNXnXnii21,~1则统计中常用分布nXXX,,,21),(~2NXi若i.i.d.~若nXXX,,,21),(2iiN~标准正态分布的分位数正态分布的上分位数.定义正态分布的双侧分位数.若,则称为标准2zXP2Z若PXz,则称z为标准标准正态分布的分位数图形575.296.1645.1005.0025.005.0zzz-2-1120.10.20.30.4z•常用数字-2-1120.10.20.30.4/2-z/2=z1-/2/2z/2•-z/2•zXP2zXP(2))(2n分布(n为自由度)定义设nXXX,,,21相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则niinX122)(~n=1时,其密度函数为0,00,21)(221xxexxfx2468100.20.40.60.811.2卡分布n=2时,其密度函数为0,00,21)(2xxexfx为参数为1/2的指数分布.2468100.10.20.30.4222121,02()()0,0xnnnexxfxx一般其中，01)(dtetxtx在x0时收敛，称为函数，具有性质)(!)1()2/1(,1)1(),()1(Nnnnxxx)(2n的密度函数为自由度为n的5101520250.10.20.30.4n=2n=3n=5n=10n=15nnDnnE2)(,)(122例如05.0307.18)10(307.18)10(2205.0P)(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX＋～＋则相互独立，若正态分布时，)(32nn分位数有表可查分布的上)(42n分布的性质)(2n20.05(10)•51015200.020.040.060.080.1n=10性质性质性质性质nXXX,,,21相互独立,证1设niiiniNXXn122,,2,1)1,0(~)(则1)(,1)(,0)(2iiiXEXDXEnXEnEnii122)(3d21)(2244xexXExi2)()()(2242iiiXEXEXDnXDnDnii2)(122(3)t分布(Student分布)定义则称T服从自由度为n的T分布.其密度函数为nYXTtntnnntfn2121221)(ΓΓ),(~,)1,0(~2nYNXX,Y相互独立,设t分布t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20-3-2-11230.10.20.30.4t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2221)()(,tnettfn2°T分布的上分位数t与双测分位数t/2均有表可查.性质-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n=101tttTP0.051.81250.05(10)1.8125PTtt-t••1.81250.05,1.81250.95PTPT8125.1)10(95.0t2/2/2)(tTPtTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t/2-t/2••2281.2)10(05.02281.2025.02281.2025.0tTPTP/2/2(4)F分布则称F服从为第一自由度为n,第二自由度为m的F分布.0,001222),,(2122tttmntmnmΓnΓmnΓmntfmnnn其密度函数为定义),(~),(~22mYnXX,Y相互独立，设mYnXF//令F分布1234560.20.40.60.81234560.20.40.60.8m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10F分布的性质1~(,),1/~(,)FFnmFFmn若则1234560.10.20.30.40.50.6例如19.5)5,4(05.0F),(1),(1nmFmnF事实上,19.51)5,4(1)4,5(05.095.0FF故)),((:),(),(2mnFFPmnFmnF有表可查分位数的上求?)4,5(95.0FF(n,m)•性质)),((1mnFFP),(111mnFFP故),(~1nmFF由于),(1111mnFFP1),(),(11nmFmnF因而),(111mnFFP例1证明),(1),(1nmFmnF证例1证2XY221(|()|)(())PXtnPXtn有例2),1()]([212nFnt证明：))(())((212222ntYPntXP),1()(212nFnt即设令nnnnG)(1)1()(2222),1(~nF2()~(),,~(0,1)nXTnXGGNn例2抽样分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总体)1(~)1(22122nXXSnnii22)1(Sn与X相互独立设总体,样本为()，),(~2nNX)1,0(~NnX)1(~nTnSXSnX(1)(2)结论2~(,)XN(II)两个正态总体相互独立的简单随机样本.niiniiXXnSXnX12211)(111令mjjmjjYY