概率论与数理统计733单侧置信区间讲诉

一、问题的引入).,(,,,,的双侧置信区间得到出两个统计量我们给对于未知参数在以上各节的讨论中但在某些实际问题中,例如,对于设备、元件的寿命来说,平均寿命长是我们希望的,我们关心的是平均寿命的“下限”;与之相反,在考虑产品的废品率p时,我们常关心参数p的“上限”,这就引出了单侧置信区间的概念.单侧置信区间二、基本概念1.单侧置信区间的定义,1}{,),,,(,,,,)10(2121PXXXXXXnn满足对于任意确定的统计量若由样本对于给定值.1,1),(信下限的单侧置的置信水平为称为侧置信区间的单的置信水平为是则称随机区间,1}{),,,,(21PXXXn满足意对于任又如果统计量.1,1),(置信上限的单侧的置信水平为称为单侧置信区间的的置信水平为是则称随机区间2.正态总体均值与方差的单侧置信区间,)(,2均为未知方差是的均值是设正态总体X,,,,21是一个样本nXXX),1(~/ntnSX由,1)1(/ntnSXP有,1)1(ntnSXP即,),1(ntnSX1的置信下限的置信水平为).1(ntnSX1的单侧置信区间的一个置信水平为于是得12的单侧置信区间的一个置信水平为于是得,)1()1(,0212nSn12的单侧置信上限的置信水平为.)1()1(2122nSn,1)1()1(2122nSnP即),1(~)1(222nSn又根据,1)1()1(2122nSnP有设从一批灯泡中,随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050,1100,1120,1250,1280,设灯泡寿命服从正态分布,求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.解,5n,1160x,95.01,1318.2)4()1(05.0tnt,99502s.950的置信下限的置信水平为.1065)1(ntnsx例1设有两个正态总体),,(~),,(~222211NYNX1、均值差μ1-μ2的置信区间双正态总体情形分别是来自两个正态总体的独立样本，其样本均值与样本方差分别为：21,,,;,...,,2121nnYYYXXX2221,;,SSYX方差均已知2221,【推导】因为分别是的无偏估计,且YX,21,),,(~),,(~22221211nNYnNX从而可得的一个置信度为1-α的置信区间为21故是的无偏估计,且有YX21),(~22212121nnNYX)1,0(~)()(22212121NnnYX2222121znnYX从而方差均未知2221,当样本容量都很大时,可用样本方差代替总体方差而得的置信度为1-α的近似的置信区间为212222121znSnSYX方差未知2221由ch6-th4得)2(~11)()(212121nntnnSYXw从而的一个置信度为1-α的置信区间为21)2(1121221nntnnSYXw其中.2)1()1(21222211nnSnSnSw设用金球和用铂球测定时测定值总体的方差相等,且两样本均服从正态分布.求两个测定值总体均值差的置信度为0.9的置信区间。〖解〗双正态总体,未知同方差的均值差置信区间.)2(1121221nntnnSYXw【例2】分别使用金球和铂球测定引力常数，金球观察值6.6836.6816.6766.6786.6796.672铂球观察值6.6616.6616.6676.6676.6646,105.1,00387.0,67817.615211nssx置信度1-α=0.9,α=0.1,由样本值计算得：查表得:8331.1)9(05.0t所求置信区间为:5,109,003.0,664.626222nssy2)1()1(212222112nnsnsnsw61033.122561094105.156531051.3ws8331.151611051.3664.6678.63018.0,010.0即为:■[P.186:17]2、方差比的置信区间2221仅讨论两正态总体均值都未知情形.【推导】由ch6-th1知:)1(~)1(1221211nSn)1(~)1(2222222nSn且相互独立,故由F-分布定义知:)1,1(~)1/()1()1/()1(21221211121211nnFnSnnSn)1,1(~//2122222121nnFSS即:1)1,1(//)1,1(212/22222121212/1nnFSSnnFP其分布不依赖于任何未知参数.由F-分布双侧分位点知:即:1)1,1(1)1,1(1212/122212221212/2221nnFSSnnFSSP)1,1(1,)1,1(1212/12221212/2221nnFSSnnFSS故的一个置信度为1-α的置信区间为:2221【例3】设两位化验员A,B独立地对某种化学物品用相同的方法各作10次测定,其测定值的样本方差分别为〖解〗双正态总体.均值未知时方差比的置信区间.6065.0,5419.022BAss设总体均为正态的,且分别为A,B所测定的测定值总体的方差.求方差比置信度为0.95的置信区间.22,BA22/BA)1,1(1,)1,1(1212/122212/22nnFSSnnFSSBABA10,6065.0,5419.02122nnssBA置信度1-α=0.95,α=0.05,由样本值计算得：查表得:2481.003.41)9,9(1)9,9(,03.4)9,9(025.0975.0025.0FFF所求置信区间为:60.3,222.0■双正态总体已知方差,均值差置信区间(N(0,1)-分布)未知方差,均值差近似置信区间大样本（N(0,1)-分布）未知同方差,均值差置信区间(t(n1+n2-2)-分布)未知均值,方差比置信区间(F(n1-1,n2-1)-分布)2222121znnYX2222121znSnSYX)2(1121221nntnnSYXw)1,1(1,)1,1(1212/12221212/2221nnFSSnnFSS.)1()1(,0212nSn小结,),1(ntnSX1的单侧置信区间的置信水平为正态总体均值12的单侧置信区间的置信水平为正态总体方差,)1(,ntnSX单侧置信上限单侧置信下限2单侧置信上限人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。