概率论与数理统计A

2020/1/251概率论与数理统计2第一章概率论的基本概念•1.1随机试验•1.2样本空间•1.3概率和频率•1.4等可能概型（古典概型）•1.5条件概率•1.6独立性第二章随机变量及其分布•2.1随机变量•2.2离散型随机变量及其分布•2.3随机变量的分布函数•2.4连续型随机变量及其概率密度•2.5随机变量的函数的分布第三章多维随机变量及其分布•3.1二维随机变量•3.2边缘分布•3.3条件分布•3.4相互独立的随机变量•3.5两个随机变量的函数的分布3第四章随机变量的数字特征•4.1数学期望•4.2方差•4.3协方差及相关系数•4.4矩、协方差矩阵第五章大数定律和中心极限定理•5.1大数定律•5.2中心极限定理第六章数理统计的基本概念•6.1总体和样本•6.2常用的分布4第七章参数估计•7.1参数的点估计•7.2估计量的评选标准•7.3区间估计第八章假设检验•8.1假设检验•8.2正态总体均值的假设检验•8.3正态总体方差的假设检验5概率论6一、概率的起源——都是色子惹的“祸”•三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。利用色子赌博的方式可谓五花八门。很自然，赌徒们最关心的就是：如何在赌博中不输！•当时赌徒提出的一个我们现在看来很简单的问题就是：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，押在哪个点数上赢的机会较大？•17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族公子哥儿——德·梅尔，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。•这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅尔问题。•诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但赌徒他们自己无法给出答案。7二、数学家们“参与”赌博•意大利医生兼数学家卡尔当诺（Cardano）参与了大量的赌博游戏。他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。•卡尔当诺解决了如下问题：把两枚骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。赌注下在多少点上最有利？•两枚骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别可为2～12共11种。从表中可知，7是最容易出现的和数，它出现的可能性是1/6。2345673456784567895678910678910117891011128•公元1651年夏天，当时盛誉欧洲号称“神童”的数学家帕斯卡（Pascal），在旅途中偶然遇到了赌徒德·美尔（DeMere），他对帕斯卡大谈“赌经”，以消磨途时光。德·美尔还向巴斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。•问题是这样的：一次德·美尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·美尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·美尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·美尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？9•帕斯卡为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马(Fermat)，两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究并完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。•这些问题后来荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，主要是计算各种古典概率。10•在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。•1713年，雅可布的著作《猜度术》出版。•雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出并解决了赌博游戏中遇到的很多问题。11三、走出赌博•随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。•法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。特别是1812年出版的《概率的解析理论》，对古典概率论作出了强有力的数学综合，叙述并证明了许多重要定理。拉普拉斯等人的著作还讨论了概率论对人口统计、保险事业、度量衡、天文学甚至某些法律问题的应用。概率论在十八世纪已远不再是只与赌博问题相联系的学科了。12四、成为严谨的学科•概率论在20世纪再度迅速地发展起来。•柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。•直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。13关键词：样本空间随机事件频率和概率条件概率事件的独立性第一章概率论的基本概念14§1随机试验确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象——确定——不确定——不确定自然界与社会生活中的两类现象例1：向上抛出的物体会掉落到地上明天天气状况买了彩票会中奖15概率统计中研究的对象：随机现象的统计规律性对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验（E）。它具有以下特性：1.可以在相同条件下重复进行2.事先知道可能出现的结果3.进行试验前并不知道哪个试验结果会发生例2：E1：抛一枚硬币，观察试验结果；E2：对某路公交车某停靠站登记下车人数；E3：对某批电子产品测试其输入电压；E4：对听课人数进行一次登记；16§2样本空间·随机事件(一)样本空间定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S={e}，称S中的元素e为基本事件或样本点．S={0,1,2,…}；S={正面，反面}；S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；S={x|a≤x≤b}E2：记录一城市一日中发生交通事故次数例3：E1：一枚硬币抛一次E3：记录某地一昼夜最高温度x，最低温度yE4：记录一批产品的寿命x17(二)随机事件一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。S＝{0,1,2,…}；记A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…}S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例4:观察7公里611路公交车站候车人数，如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不包含任何样本点。18例5：E＝“掷一枚骰子，观察出现的点数情况”样本空间S＝{1，2，3，4，5，6}1A＝“出现3点”2A＝“出现偶数点”3A＝“出现的点数大于3点”4A＝“出现的点数在1到6之间”5A＝“出现0点”样本点{3}{2,4,6}{4,5,6}必然事件不可能事件Φ19(三)事件的关系及运算事件的关系（包含、相等）例1：记A={明天天晴}，B={明天无雨}记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}2ABABBA＝1ABAB：事件发生一定导致发生BABABASAB20事件的运算{|}ABxxAxBAB或：与至少有一发生。121121,,,,ninininiAAAAAAAA：至少有一发生：同时发生SBASABSBAABA与B的和事件，记为,,ABABABA与B的积事件，记为{|}ABxxAxBAB且：与同时发生。当AB=Φ时，称事件A与B不相容的，或互斥的。21“和”与“积”的运算：SABASA{|}ABABxxAxB且,,AASABSAAABABAA逆事件的记为,若,称对立,ABBAABBA()(),()()ABCABCABCABC()()()ABCABAC()()()ABCABAC,ABABABAB22ABABABABABAB例3：设A={甲来听课}，B={乙来听课}，则：{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}例2：证明：A－B＝A－AB1)ABAB2)()()AABAABAABAAABAB23若记A＝“订晚报”B＝“订商报”C＝“订晨报”试描述以下事件？1、只订晚报；2、只订晚报和商报；3、只订一种报纸；4、正好订两种报纸；5、至少订一种报纸；6、不订报纸；7、最多订一种报纸；例3：重庆发行有晚报、商报、晨报，人们订晚报的占45％，订商报的占35％，订晨报的占30％，同时订晚报和商报的占10％，既订晚报又订晨报的占8％，既订商报又订晨报的占5％，三种都订的占3％。24§3频率与概率例1：中国国家足球队，“冲出亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲出亚洲”这事件发生的频率为某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记A={听课迟到}，则#频率反映了事件A发生的频繁程度。An()nAfAnn；()nfA1n；()151788%nfA()nfA(一)频率定义：记其中—A发生的次数(频数)；n—总试验次数。称为A在这n次试验中发生的频率。试验序号n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表1例2：抛硬币出现的正面的频率26实验者nnHfn(H)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005表227**频率的性质：且随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．()nfA121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSAAAfAfA。。。若,…,两两互不相容，则28(二)概率定义1：的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p定义2：将概率视为测度，且满足：称P(A)为事件A的概率。()nfA10()1PA。2()1PS。12113,()()kkkiiiiAAAPAPA。若,…,两两互不相容，则292()()()0()()ABPBAPBPAPBPA若则有，3()()()()PABPAPBPAB概率的加法公式：1()1()PAPA性质：AAS()()1PAPA(()0)PBAAB()()()PBPAPAB()()()()0PBPAPABPBA()()PBPA()ABABAB()()()PABPAPBAB2()()()BABPBABPBPAB。又，由知()()()()PABPAPBPAB#3。的推广：1111121()()()()(1)()nniiijiijninijknijknPAPAP