概率论与数理统计ch2随机变量及其概率分布

1关键词：随机变量概率分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量的函数第二章随机变量及其分布§1随机变量常见的两类试验结果：示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数…示性的——明天天气（晴，云…）；化验结果（阳性，阴性）…3esxX=X(e)－－为S上的单值函数，X为实数中心问题：将试验结果数量化4定义：设随机试验的样本空间为eS,若)(eXX为定义在样本空间S上的实值单值函数，则称)(eXX为随机变量。一般采用大写英文字母ZYX,,来表示随机变量引入随机变量的目的是用来描述随机现象BIXI记为事件是一个实数集合若一般的}{,,常见的两类随机变量离散型的连续型的})(:{}{IeXeIX为事件则6例：掷硬币3次，出现正面的次数记为X.样本点TTTTTHTHTHTTHHTHTHTHHHHHX的值01112223{0}PX{}PTTT1/8{1}PX{,,}PTTHTHTHTT{1}PX{0}{1}PXPX1/2X0123p1/83/83/81/88/37定义：取值至多可数的随机变量为离散型的随机变量。概率分布(分布律)为10,1iiippkp…………1x2xix1p2pipX§2离散型随机变量及其分布概率分布写出所有可能取值写出取每个可能取值相应的概率例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。101(0)()PXPAp；12(1)()(1)PXPAApp；2123(2)()(1)PXPAAApp；3123(3)()(1)PXPAAAp；解：设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3且A1,A2,A3相互独立。11pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)312例：若随机变量X的概率分布律为求常数c.()0,1,2,,0!kcPXkkk，解：01{}kPXk0!kkckcece几个重要的离散型随机变量Xpq01p随机变量只可能取0、1两个值(p+q=1,p0,q0)则称X服从参数为p的0-1分布，或两点分布.若X的分布律为：一、0－1分布15记为~01()(1,)XpBp或1()(1),0,1.kkPXkppk它的分布律还可以写为对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在S上定义一个服从（0－1）分布的随机变量。12{,}See120,,()1,.eXXee当e当e来描述这个随机试验的结果。17检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0－1）分布的随机变量来描述。一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0p1).若仅考虑事件A发生与否,定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变量:1,A,0,AA.若发生若不发生(即发生)X来描述这个随机试验的结果。只有两个可能结果的试验，称为Bernoulli试验。19二、二项分布即每次试验结果互不影响在相同条件下重复进行n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果：,p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。A与A独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果:正面，反面，,,AA12P出现正面16PA将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验只有两个结果：21如果是不放回抽样呢？,,AA12PA从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则每次只有两个结果：22设A在n重贝努利试验中发生X次，则()(1)01kknknPXkCppkn，，，，~()XBnp，01()1nnkknknkpqCpqqp注：其中并称X服从参数为p的二项分布，记3123(0)()(1)PXPAAAp3123(3)()PXPAAAp22321231231233(2)()(1)PXPAAAAAAAAACpp11311231231233(1)()(1)PXPAAAAAAAAACpp()(1),0,1,2,,kknknPXkCppkn一般推导：以n=3为例,设Ai={第i次A发生}例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验,从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p．求这批产品能被接受的概率.25(0)(12Y0)且＝PXPX(0)(12)(0)PXPXPY109285(1)[10(1)45(1)](1)pppppp()PA(0)((1)(2))(0)PXPXPXPY解：设A={接受该批产品}。设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数.则X～B(10,p)，Y～B(5,p)，且{X=i}与{Y=j}独立。26例：设随机变量~(100,0.05),XB(10)(10)PXPX求和101010010000(10)()0.050.95kkkkkPXPXkC解：101010010000(10)()0.050.95kkkkkPXPXkC解：ExcelExcel使用表单：在表单的任一单元格输入“＝”()F在主菜单中点击“插入”“函数”在选择类别的下拉式菜单中选择“统计”BINOMDIST选择“”点击“确定”0.98852759点击“确定”即在单元格中出现。_10,100,_0.05,NumbersTrialsProbabilitysCumulativeTRUE在函数参数表单中输入“”(10)0.016715884PXCumulativeTRUECumulativeFALSE计算，只要将上述步骤中“”改为“”即出现。泊松分布(Poisson分布)()0,1,2,,0!，kePXkkk~()X若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为λ的泊松分布，记29~(4.8)X，求(1)随机观察1个单位时间，至少有3人候车的概率；(2)随机独立观察5个单位时间，恰有4个单位时间至少有3人候车的概率。例：设某汽车停靠站单位时间内候车人数301(3)1(0)(1)(2)PXPXPXPX解：445253~(5,),(3)0.8580(4)(1)0.7696.YYBppPXPYCpp设个单位时间内有个单位时间是“至少有人候车”，则其中，于是24.84.81(14.8)0.85802!e10,0.1,1,knkkknnpeCppnpk二项分布与泊松分布有以下近似公式：当时其中！32!1!()!1knknkkknnknknnCpp事实上，(1)...(1)11!nkkknnnknnknkek！(1)...(1)1111knknnnknennn因为当充分大和适当的时，，，(1)...(1)1111knknnnknennn因为当充分大和适当的时，，，33例：某地区一个月内每200个成年人中有1个会患上某种疾病，设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有1000个成年人，求某月内该社区至少有3人患病的概率。1000~(1000,),1/200(3)1(0)(1)(2)0.8760XXBppPXPXPXPX解：设该社区人中有个人患病，则其中55255,55(3)10.87530!1!2!eeePX利用泊松分布进行近似计算，取1000~(1000,),1/200(3)1(0)(1)(2)0.8760XXBppPXPXPXPX解：设该社区人中有个人患病，则其中1000~(1000,),1/200(3)1(0)(1)(2)0.8760XXBppPXPXPXPX解：设该社区人中有个人患病，则其中35ExcelExcel注：泊松分布也可以使用表单：在表单的任一单元格输入“＝”()F在主菜单中点击“插入”“函数”在选择类别的下拉式菜单中选择“统计”POISSON选择“”点击“确定”2,5,XMeanCumulativeTRUE在函数参数表单中输入“”0.124652019点击“确定”即在单元格中出现。(3)1(2)0.875347981PXPX称X服从超几何分布11212(),,1,...,,max(0,),min(,).knkabnNCCPXkklllClnblan其中，超几何分布若随机变量X的概率分布律为37例：一袋中有a个白球，b个红球，a＋b＝N,从中不放回地取n个球，设每次取到各球的概率相等，以X表示取到的白球数，则X服从超几何分布。称X服从参数p的几何分布1()(1),1,2,3,...,01.kPXkppkp几何分布若随机变量X的概率分布律为39例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为p，0p1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到X只产品，则X服从参数p的几何分布。称X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布.11()(1),,1,2,...,01.rrkrkPXkCppkrrrrp其中为正整数，巴斯卡分布若随机变量X的概率分布律为41例：独立重复地进行试验，每次试验的结果为成功或失败，每次试验中成功的概率均为p，0p1,试验进行到出现r次成功为止，以X表示试验次数，则X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布。42思考题：一盒中有2个红球4个白球，（1）从中取一球，X表示取到的红球数；（2）采用不放回抽样取3球，Y表示取到的红球数；（3）采用放回抽样取3球，Z表示取到的红球数；（4）采用放回抽样取球，直到取到红球为止，U表示取球次数；（5）采用放回抽样取球，直到取到3个红球为止，V表示取球次数。上述随机变量X,Y,Z,U,V的分布律是什么呢？4332436(),0,1,2;kkCCPYkkC3332(),0,1,2,3;3kkPZkCk12(),1,2,3,...3kkPUkk3212(),3,4,5,...3kkkPVkCk解答：(1)X服从0－1分布，P(X=1)=1/3，P(X=0)=2/3；（3）Z服从二项分布B(3,1/3)，（4）U服从几何分布，（5）V服从巴斯卡分布，（2）Y服从超几何分布，§3随机变量的分布函数,,()XxPXxx随机变量对实变量应为的函数,,()()XxFxPXxX定义：随机变量对任意实数称函数为的概率分布函分数，简称布函数。()Fx的几何意义：xX任何随机变量都有相应的分布函数4512210()()()PxXxFxFx1)0()1Fx()的性质：Fx2)()()0()1FxFF单调不减，且，3)(),(0)().FxFxFx右连续即4)()(0)()FxFxPXx例：p0,q0,q+p=1.pX01qpXFx求的概率分布函数。47解：00()0111xFxPXxqxx01q1xFx一般地，设离散型随机变量的分布律为X，，，21kpxXPkk的分布函数为由概率的可列可加性得X}{,2,1,)(kkkxXPpkxxxF其跳跃值为处有跳跃，在分布函数xxkkpxF)(490,1,0.2,1