概率论与数理统计同济大学第五章

第五章随机变量序列的极限大量随机试验中大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……有稳定性测量值的算术平均值具某一常数事件发生的频率稳定于二、依概率收敛定义及性质定义12,,,,0,nXXXc设是一个随机变量序列如果存在一个常数使得对于任意总有lim{||}1nnPXc12,,..PnXXcXc则称序列依概率收敛于记为性质,(,)(,)(,)(,).PPnnPnnXaYbgxyabgXYgab设，又设函数在点连续，则请注意:(1),0,,1nnXcnXc依概率收敛于意味着对任意给定的，当充分大时事件的概率很大接近于；依概率收敛性可等价表示为(2),.依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱些它具有某种不确定性lim()0.nnPXc问题:贝努利设nA是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，()AnnfAn是事件A发生的频率.事件发生的频率能否代替事件的概率，频率是否具有稳定性呢？()PnfAp,~(,).AAnnBnp是离散型随机变量且11(())()()AnAnEfAEEnnppnnn22111(())()()(1)(1).AnAnDfADDnnppppnnnn,0,,n由切比雪夫不等式对任意当时22(())(1)(|()|)0nnDfAppPfApn0-1引进服从分布的随机变量1,;1,,.0,,iAiXinAi事件在第次试验时发生事件在第次试验时不发生1,,,(1,).nXXBp独立同分布且都服从11,,1().nAniAninfnXAXnnX此时频率11()11()PnnnPiiiifApXEXnn则可表示为11,(),niiPccEXpncc对任意常数有令则有11111111()()()0nnnniiiiiPiiiXEXEXEXnnnn1111(())0.nnPiiiiiXEXXnn即1211()(),,,,,1,2,,110.iPnniiiiXXciXEncXDnX定理设随机变量若存在常数使得那么切比雪夫大两两不（）相关数定律11:(),,0,.niiiPPEXXXnXX若令则即注122(),,,(),(),1,2,..iiPXXEXDXiX定理设是一个独立同分布的随独立同分布情形下的大数机变量序列且那么定理12(),,,0-1(1,),,.PiXXXBpXp定理设是一个独立同分布的随机变量序列且每一个贝努利大数都服从分律么定布那1222221,,,(),(),1,2,,1iiniiPXXEXDXiXn例设是独立同分布的随机变量序列且那么212,,,.iiYXYY证令则为独立同分布的随机变量序列2211,11()()nniiiiiiPXYYEYEXnn由独立同分布大数定律2222()()[()].iiiEXDXEX其中12222421212212:,,()0,(),0,.(),0,1()lim(||)11()lim(||)11()lim(||)11()lim(|iiininininininiiniXXiEXDXEXAPXnBPXnCPXnDPXn例设，是独立同分布的随机变量序列对任意，未知且则对任意必有21|)0n中心极限定理的客观背景在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布呢？如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大.则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.高斯当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.正态分布的极限分布是否为标准讨论nY在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.nkkkXnkX1),1(的和即考虑随机变量111()()nnkkkknnkkXEXYDX1niiXnPxn定理1（独立同分布下的中心极限定理）122,,,,(),()0,1,2,,,,niiXXXEXDXixx设随机变量是一个独立同分布的随机变量序列且则对任意总有,()(0,1).xN其中是的分布函数limn=()x注12111,(,);(0,1).~~nkknknkkkXnXnXNnnNn近似地近似地、定理表明，独立同分布的随机变量之和当充分大时，随机变量之和与其标准化变量分别有22(,)(0,1)~~XXNnNn近似地近似地、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为或nkkXnX11其中3、虽然在一般情况下，我们很难求出的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.1nkkX1.,75.(:)(1,1),,10.kgkg例为了测定一台机床的质量把它分解成个部件来称量假定每个部件的称量误差单位服从区间上的均匀分布且每个部件的称量误差相互独立试求机床质量的总误差的绝对值不超过的概率定理2(德莫弗-拉普拉斯中心极限定理)1,,,0-1(1,),,niXXXBpx设,是一个独立同分布的随机变量序列且每个都服从分布则对任意总有1lim().(1)niinXnpPxxnpp11.~(,),~(,),,niiXBnpYBnpn即若当充分大时注()(1)()(1)(1)(1)kknknakbPaYbCppanpYnpbnpPnppnppnpp()()(1)(1)bnpanpnppnpp2.(),(),().PaYbPaYbPaYb都由上式近似计算近似服从标准正态分布例2.设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用中心极限定理估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率?例3.甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时是随机的，且彼此相互独立，问甲影院至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1％？例4.在人寿保险公司里有3000个同龄人参加人寿保险.在一年内每人的死亡率为0.1%,参加保险的人在一年的第一天交付保险费10元,死亡时家属可以从保险公司领取2000元,试用中心极限定理求保险公司亏本的概率？