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向量性质描述的判断例1．已知、、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（）ab①bababa//⇔⋅=⋅；②a、反向bbaba⋅−=⋅⇔③bababa−=+⇔⊥；④cbcaba⋅=⋅⇔=A．1B．2C．3D．4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．①中∵θcosbaba⋅=⋅，∴由baba⋅=⋅及、b为非零向量可得a1cos=θ，∴0=θ或π，∴且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②中若a、b反向，则、的夹角为ba//abπ，∴bababa⋅−=⋅=⋅πcos且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当ba⊥时，将向量、b的起点确定在同一点，则以向量、为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有aabbaba−=+．反过来，若baba−=+，则以、b为邻边的四边形为矩形，所以有aba⊥，因此命题③是真命题．④中当ba=但与的夹角和与的夹角不等时，就有acbccbca⋅≠⋅，反过来由cb⋅ca=⋅也推不出ba=．故命题④是假命题．答案：C小结：（1）两向量同向时，夹角为0（或）；而反向时，夹角为°0π（或）；两向量垂直时，夹角为．因此当两向量共线时，夹角为0或°180°90π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线．（2）对于命题④我们可以改进为：ba=既不是cbca⋅=⋅的充分条件也不是必要条件．利用定义求向量的数量积例1．已知4=a，5=b，当（l）（2）ba//ba⊥，（3）与的夹角为时，分别求与的数量积。ab°30ab分析：已知a与b，求ba⋅，只需确定其夹角θ，须注意到时，有ba//°=0θ和°=180θ两种可能。解：（1），若与同向，则ba//ab°=0θ，∴20540cos=×=°⋅=⋅baba；若与b反向，则a°=180θ，∴()20154180cos−=−××=°⋅=⋅baba，（2）当时，ba⊥°=90θ，∴090cos=°⋅=⋅baba，（3）当a与的夹角为时，b°301310235430cos=××=°⋅=⋅baba.小结：（1）对于数量积θcosbaba⋅=⋅，其中θ的取值范围是[]°°180,0；（2）非零向量和，ab0=⋅⇔⊥baba；（3）非零向量和共线的充要条件是abbaba⋅±=⋅．向量数量积的运算例1、已知向量为相互垂直的单位向量，ji,jibajiba168,82+−=−−=+，那么._____=⋅ba分析：应先求出，再计算．ba,ba⋅解：由已知,82jiba−=+①,168jiba+−=−②①＋②得.43jia+−=①－②得.125jib−=故.634815)125()43(−=−−=−⋅+−=⋅jijiba小结：解决本题也可利用向量坐标运算，或求解．22)()(4bababa−−+=⋅向量的夹角例1、已知不共线向量a，b，3=a，2=b，且向量ba+与ba2−垂直．求：a与b的夹角θ的余弦值．分析：由向量数量积定义知baba⋅=θcos，所以需求ba⋅之值．由已知得0)2()(=−⋅+baba，从中可求得ba⋅之值．解：)2()(baba−⋅+Q垂直，0)2()(=−⋅+∴baba根据向量数量积的运算律得0222=−⋅−bbaa，3=a，2=b1222=−=⋅∴babaθcosbaba=⋅Q261cos=⋅=∴babaθ，即为所求．小结：非零向量0cos==⋅⇔⊥θbababa是应用向量解决有关垂直问题很重要的手段，特别是根据向量数量积的定义，把研究形的问题，转化为数量问题，如已知1=a2=b，a与b夹角为，问当取何值时，°60k)(bak+与)23(ba−垂直，160cos=°=⋅babaQ，由0)23()(=−⋅+babak可求得5=k．向量垂直时的参数值例1．已知3,2,==⊥babarrrr，当()()babarrrr+⊥−λ23时，求实数λ的值．分析：求一个实数的值，运用方程的思想，建立一个方程，通过解方程使问题得解．解：barrQ⊥，0=⋅∴barr．Q()()babarrrr+⊥−λ23，∴()()023=+⋅−babarrrrλ，即02)23(322=−⋅−+bbaarrrrλλ，∴02)23(322=−⋅−+bbaarrrrλλ※．把3,2==barr，0=⋅barr代入※式，得().23,032023222=∴=⋅−⋅−+⋅λλλ3小结：通过向量垂直两向量的数量积为0，建立等式将向量问题转化为方程求解．向量垂直的证明例1．已知非零向量和arbr夹角为，且o60()()babarrrr573−⊥+，求证：()()babarrrr274−⊥−．分析：欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零．证明：因为和arbr夹角为，所以o60bababarrrrrro⋅=⋅⋅=⋅2160cos；又因为()()babarrrr573−⊥+，所以()()0573=−⋅+babarrrr，即01587152116715167222222=−⋅+=−⋅×+=−⋅+bbaabbaabbaarrrrrrrrrrrr，∴()()0157=−⋅+babarrrr，,0=−∴barr即barr=．因为()()22222281578213078307274bbaabbaabbaababarrrrrrrrrrrrrrrr+−=+×−=+⋅−=−⋅−，把barr=代入上式消去br得()()=−⋅−babarrrr2740815722=+−aaaarrrr．所以()()babarrrr274−⊥−．小结：这也是垂直的证明问题，但不是从平面几何的角度，而是直接从数量积的角度给出条件，再运用数量积的有关知识解决问题．向量垂直例1、已知向量ji,为相互垂直的单位向量，设,3)1(jima−+=,)1(jmib−+=)()(baba−⊥+，则._____=m分析：本题考查向量运算，两向量垂直的充要条件．3解：由题设可知jmimba)4()2(−++=+，jmimba)2(−−+=−．由0)()(=−⋅+baba，得0])2(][)4()2[(=−−+−++jmimjmim，即0)2)(4()2(=−−−++mmmm，得2−=m．小结：解决本题时，应注意1,022===⋅jiji．另外，解本题时，也可利用向量的坐标表示求解，即)2,(),4,2(−−=−−+=+mmbammba，再运用向量垂直的充要条件求出m的值．求向量夹角的余弦例1．设,6=ar,10=br64=−barr，则ar与br的夹角θ的余弦值为＿＿＿＿＿．分析：要求夹角需先求出barr⋅的值。解：Q64=−barr，()()()2222226422=⋅−+=+⋅−=−⋅−=−∴bababbaabababarrrrrrrrrrrrrr．把,6=ar,10=br代入得20=⋅barr．由θcos⋅⋅=⋅babarrrr，得,cos10620θ××=于是31cos=θ．小结：本题涉及了平面向量的数量积的概念，性质22aaaarrrr==⋅以及有关运算律，体现了较强的综合性．判断四边形形状例1、平面四边形中，ABCDaAB=，bBC=，cCD=，dDA=，且addccbba⋅=⋅=⋅=⋅，判断四边形的形状．ABCD分析：在四边形中可知，ABCD0=+++dcba，故)(dcba+−=+，两边平方后，根据题设可得四边形边长的关系，由此从四边形的边长及内角的情况来确定四边形的形状．ABCD证明：由四边形可知，ABCD0=+++dcba（首尾相接）)(dcba+−=+∴，即22)()(dcba+=+展开得222222ddccbbaa+⋅+=+⋅+dcba⋅=⋅Q，)1(2222dcba+=+∴同理可得)2(2222cbda+=+4（1）－（2）得2222caab=⇒=，∴db=，ca=，即CDAB=，DABC=，故四边形是平行四边形.ABCD由此ca−=，db−=又cbba⋅=⋅Q，即0)(=−cab0)2(=⋅∴ab即BCABba⊥⇒⊥故四边形是矩形ABCD小结：利用向量数量积及有关知识，可以解决许多几何问题，特别是几何图形形状的判断，因为向量积与长度（模）和角有关．如用向量证明等腰三角形底边上的中线垂直于底边．如图所示，ABCΔ为等腰三角形ACAB=，D为底边的中点．设BCaAB=，bAC=，b=a，ab−=BC，)(21baAD+=0)(21)(21)(22=−=+⋅−=⋅∴abababADBC故，命题成立.BCAD⊥利用向量垂直证明平面几何垂直问题例1．如图，已知ABCΔ中，是直角，C∠CBCA=，是的中点，DCBE是AB上的一点，且EBAE2=.求证：CEAD⊥.分析：借助向量垂直的充要条件解题，即证明0=⋅CEAD.证明：设此等腰直角三角形的直角边长为，则a()()AECACDACCEAD+⋅+=⋅AECDAEACCACDCAAC⋅+⋅+⋅+⋅=2232222232202⋅⋅+⋅⋅++=aaaaa03132222=++−=aaa.所以DEAD⊥.小结：用向量方法证明几何问题时，一般应把已知和结论转化成向量的形式，再通过相应的向量运算完成证明，不难发现，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度关系等方面的几何问题，利用向量的数量积可解决长度关系、角度、垂直等几何问题。5已知平行四边形对角线一半的数量积例1、如图所示，已知平行四边形，ABCDaAB=，bAD=，4=a，2=b，求：OBOA⋅.分析：根据向量数量积定义θcosOBOAOBOA=⋅，来求OBOA⋅显然不行，因为OA，OB，θcos都无法确定．怎么办呢？由于ACOA21−=，DBOB21=，而baAC+=，baDB−=，由此DBACOBOA⋅−=⋅41)()(41baba−⋅+−=)(4122ba−−=，从而可求得OBOA⋅.解：为平行四边形，根据向量的加、减法法则知：ABCDQbaAC+=，baDB−=)()(babaDBAC−⋅+=⋅∴22ba−=1222=−=baOQ点为平行四边形对角线、的交点，ABCDACDB即O为、的中点，ACDBACOA21−=∴，DBOB21=.)(41DBACOBOA⋅−=⋅31241−=×−=小结：（1）通过本题我们看到了)()(baba−⋅+与ba⋅的夹角无关，只与a、b有关．（2）直接应用向量数量积的定义，本题无法求OBOA⋅，而把问题转移一下，用间接的方法来解决此问题，这是数学中常用的方法．（3）a与b不共线时，ba+与ba−垂直的充分条件是ba=.怎样用平面向量的数量积处理有关垂直的问题？［例2］如图5－6－8，已知AD、BE、CF是△ABC的三条高．图5－6－8求证：AD、BE、CF相交于一点证明：设BE、CF相交于H，并设AB＝b，AC＝c，AH＝h，则BH＝h－b，CH＝h－c，BC＝c－b∵BH⊥AC，CH⊥AB∴（h－b）·c＝0，（h－c）·b＝06∴（h－b）·c＝（h－c）·b化简得：h·（c－b）＝0∴AH⊥BC，∴AH与AD重合，∴AD、BE、CF相交于一点H．怎样用平面向量的数量积处理有关长度及夹角的问题？［例3］若向量a＋3b与7a－5b垂直，并且向量a－4b与7a－2b垂直，求非零向量a与b的夹角．分析：本题考查向量的综合运算能力和逻辑思维能力．解：由已知，得⎩⎨⎧=−⋅−=−⋅+,0)27()4(0573babababa,)()(即①×15＋②×8，得161a2－161b2＝0，故|a|＝|b|．③设向量a与b的夹角为θ，由②，得30|a|·|b|cosθ＝7|a|2＋8|b|2．将③式代入上式，得cosθ＝21，故θ＝60°，即a与b的夹角为60°．怎样用向量运算的几何性质证明几何问题？［例4］已知ABCD是平行四边形．求证：|AC|2＋|BD|2＝2（|AB|2＋|AD|2）证明：设AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，BD＝b－a，于是|AC|2＋|BD|2＝|a＋b|2＋|b－a|2＝（a＋b）2＋（b－a）2＝2（a2＋b2）＝2（|AB|2＋|AD|2）．评注：这是一个重要的平面几何结论，证法很多，都不