第六讲函数的奇偶性与周期性

1、同学们，函数的奇偶性是什么东西？世间万物缤纷多彩，令人眼花缭乱，让人目不暇接，美不胜收。但有一种美是令人向往的，那就是对称美，在对称美中有两种对称是最让人销魂的，那就是事物关于直线对称与事物关于点对称。函数的奇偶性就是研究函数的图像是关于直线对称还是点对称。比如人体的对称、建筑物的对称如古建筑。椭圆、双曲线的对称。2、数学有三种语言，符号语言、图形语言、文字语言。对于函数的单调性也是这三种语言。文字语言不严格，被人误会，因为有时候说者无心听者有意。图形语言有缺陷因为有时候图画不出来。只有用符号语言表达的概念才是达到严格标准，符号语言精确、严格、简洁、漂亮、有助于减少人的思维量，让人更容易思考，减轻大脑负担。3、偶函数的文字语言、图形语言、符号语言。什么语言可以当定义？如果要证明一个函数是偶函数文字语言、图形语言能当证明吗？4、奇函数的文字语言、图形语言、符号语言。什么语言可以当定义？理由是什么？如果要证明一个函数是奇函数文字语言、图形语言能当证明吗？5、同学们从偶函数奇函数的定义中能发现什么对判断一个函数是偶函数或奇函数起着一票否决的作用？答：定义域关于原点对称。为什么？因为定义域不关于原点对称这就破坏了对称性，所以就一票否决，因为奇偶性是研究对称美的。同学们能不能从现实的生活中找到一票否决的例子？答：在现实生活中起着一票否决作用的事情很多。比如我们三溪中学不管高考成绩多好，如果出现学生命案那学校的荣誉就一票否决，高考优秀奖局里就不给三溪中学了。还如对于一个地方的执政长官，如果在自己管理的辖区内出现老百姓到北京上访那你这个第一把手的政绩就一票否决。观点：文理相通、万物皆通。八、偶函数奇函数为什么取名偶函数奇函数？答：大家看y=x^n，同学们发现了什么？当n是偶数它就是偶函数，当n是奇数它就是奇函数。九、f(x)=x^3+2x，f(x)=2x^4+3x^2，这两个函数是偶函数还是奇函数？你能得出什么结论？从这两个例子可以得出结论：两个奇函数相加还是奇函数，两个偶函数相加还是偶函数。但两个奇数相加是偶数，两个偶数相加是偶数。同学们能得出更多的结论吗？两个奇数相乘还是奇数，两个偶数相乘还是偶数。但两个奇函数相乘却是偶函数，两个偶函数相乘还是偶函数。奇函数除以偶函数还是奇函数，奇函数除以奇函数是偶函数，偶函数除以偶函数还是偶函数。但正数+正数=正数，负数+负数=负数，正数*正数=正数，负数*负数=正数，正数/负数=负数，正数/正数=正数，负数/负数=负数。你们说说把奇函数取名负函数，把偶函数取名正函数是不是好一点？上面结论很多，如果死记硬背则负担重，我们只需用最简单具体例子套一下。比如发f(x)=x、g(x)=x2u(x)=x3讲授新课问题：(1)今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？在数学当中，有没有周期现象？还有没有其他的例子？1、这就是事物所具有的周期性。同学们能不能给周期一个符号定义？2、某一天是星期一，如何用符号表示？经过7天是星期几？如何用数学符号表示？再经过7天呢？再再经过7天呢？答：f(x)=1，f(x+7)=1，f(x+7+7)=1，f(x+7+7+7)=13、你会画这个函数的图形语言吗？二、得到什么结论？答：f(x+7)=f(x)，f(x+7+7)=f(x)，f(x+7+7+7)=f(x)三、如果一个函数f(x+T)=f(x)，我们就称这样的函数是周期函数。若f(x+T)=f(x)，则f(x+T+T+…….)=f(x)。T0，T称为最小正周期。4、你会求这个对应法则吗？其实是不做要求的。但在同学们的手机里是有万年历的，所以手机里面是有解析式的。对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x＋T)＝f(x).那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.周期函数定义：4、求正弦函数、余弦函数的周期，说出最小正周期。周期有什么用？5、求下列函数的周期（1)y=sinx(2)y=2sinx(3)y=sin2x(4)y=2sin2x)32sin(2)5(xy6、如果把sin变cos呢？（注：（1）求函数周期要紧紧抓住f(x+T)=f(x)，而教材的解法比较难理解。对于周期，用抽象的周期定义求周期反而具体，而如果离开周期定义求周期，具体的反而抽象。虽然定义是抽象的，但对于求函数周期根据定义反而具体。（2）同学们能不能用几何意义对求周期做出声明？Sin2x周期为什么是“”？因为sinx周期是“2”，就是旋转一圈回到原来位置，从新开始，因为x有系数2，所以旋转半圈乘以2就是一圈，所以sin2x周期是“”。7、求函数8、求函数9、如果函数y=f(x)的周期是T，求的周期。10、求正弦函数、余弦函数的对称中心和对称轴。对称轴、对称中心有什么性质？跟周期有什么关系？答：最短距离的两个对称中心是半个周期，最短距离的两条对称轴是半个周期。对称轴对应最大、小值，对称中心对应的函数值是零。11注意：正弦函数的对称轴时要与周期的第二个定义联系起来。对称中心不做要求例：周期的第二定义（具体例子）：f(4-x)=f(4+x)且f(6-x)=f(6+x)。先猜周期再推导周期。分析：①、②是解析式表面现象吓人，一切反动派都是纸老虎。③判断奇偶性可以图像法与符号法，这题用图形语言判断是直观易懂。分析：此两题如果用奇偶性的符号语言求解是抽象，利用奇偶性的图形语言来解是直观通俗。