第2讲 效用函数与需求函数

1第一章效用函数与需求函数2主要学习内容：第一节效用函数的数学表达式及其特性第二节效用最大法则与需求函数第三节效用函数、需求函数的实际应用主要掌握内容：•效用函数的各种数学表达式•运用效用最大法则推导需求函数•效用函数、需求函数在实际中的简单应用3第一节效用函数的数学表达式及其特性•什么是效用？•效用函数的解释变量是谁？4一、效用、效用函数的定义•经济学可以简单地定义如下：利用有限的资源，合理安排生产，生产的产品在消费者中进行合理的分配，达到人类现在与未来的最大满足。•根据以上的定义，学习或者研究数量经济学的首要任务是：如何用数学公式来表示人类的满足程度和个人的满足程度。5衣着食品住宅交通效用函数或生活水平函数U闲暇安全健康家庭荣誉6…效用函数),,(nxxU11xnx7BAx123CDEFU)(xU二、效用函数的特性•递增函数效用函数递增法则二阶导数为负边际效用递减法则890121xxxU),(021212xxxU),(0221xxxU),(022212xxxU),(10三、效用函数的主要形式及等效用曲线•问题•学习《计量经济学》过程中，接触过哪些生产函数？11练习：写出效用函数的数学表达式第1种类型：对数线性型、或者柯布——道格拉斯型1011iianaaaxAxUn,12等效用曲线bayxAUxy13第2种类型：不变替代弹性型、或者CES型111][nnxaxaAU141][ybxaAUxy•线性生产函数形式：15•CD生产函数形式：[]1/0UAaxbyxy16•一般CES生产函数形式：0/1][ybxaAUxy1712/,/UAxy列昂剔夫型效用函数的等效用曲线xy[],1/UAaxby或18第二节效用最大法则与需求函数问题？简述：求极值的方法。19MxpxptsxxUMax221121.),(一、效用最大的数学模型2022211121pxxxUpxxxU),(),(Mxpxp2211二、效用最大法则:通过求解消费者效用最大法则，就可以得到是需求函数的数学表达式。21MxpxptsaaxAxUiiaa2211211021.,maxMaaaxp21111Maaaxp2122122211121pxxxUpxxxU),(),(Mxpxp2211效用最大数学模型效用最大法则需求函数22问题？选择题：a.需求函数与效用函数值的大小有关系。b.需求函数与效用函数值的大小没有关系。c.需求函数与效用函数值大小的关系不确定，有时候有关系，有时候没有关系。23问题：有人认为，效用函数值的大小不能测量，所以应该全盘否定西方经济学。这一句话有没有道理？24练习：如果人们收入中有60%购工业品，数量为x,40%购农业品，数量为y,写出效用函数的数学表达式。25练习：如果人们收入中有60%购工业品，数量为x,40%购农业品，数量为y,写出效用函数的数学表达式。4.06.0yxAU自己练习课后习题二26•最优支出比例的计算练习请求解：MxpxptsxaxaUMax22112211.27解:可以根据高等数学当中求极值的方法来求解以上问题。作拉格朗日函数:)(22112211xpxpMxaxa28那么，极值的必要条件为：111110pxax212220pxax29那么，极值的必要条件为：111110pxax212220pxax1111pxa/2122pxa/30那么，极值的必要条件为：111110pxax212220pxax1111pxa/2122pxa/Mxpxp221131那么，极值的必要条件为：111110pxax212220pxax1111pxa/2122pxa/Mxpxp2211Mpapapaxp)/()/()/()/()/()/(1211211111111111132111110pxax212220pxax1111pxa/2122pxa/Mxpxp2211Mpapapaxp)/()/()/()/()/()/(12112111111111111Mpapapaxp)/()/()/()/()/()/(1211211111121122233练习：若效用函数为：1122:?pxpx求实现效用最大化的最优支出比例为多少？1/11221122().MaxUaxaxstpxpxM34•利用需求函数表达式可以求出：1/(1)/(1)11111/(1)/(1)1/(1)/(1)1122appxMapap1/(1)/(1)22221/(1)/(1)1/(1)/(1)1122appxMapap35111111222:papxpxbp•于是可得最优支出比例为：36练习：如果某人对商品x和y的效用函数CES型效用函数。已知两种商品支出比例的对数值与其价格比的对数值符合下式，求效用函数的数学表达式。11222pxpLogLogpyp•效用函数的推导37解：依题意得，效用函数理论表达式如下：1/12()Uaxbx1112222pCpLogLogpCp可得该效用函数下最优支出比例为：111111222:papxpxbp结合如下已知条件：3811112221112120.50.5212110.512101101()1111pCpaLogLogLogpCbpaLogbaabbabUxx又因为：ａ＝10/11，ｂ＝1/11因此，效用函数的数学表达式为：可得：39第三节效用函数的应用•考虑多个时期消费者最优选择•青年人向银行贷款提前消费的计算模型•在实际中如何选择跨期消费的效用函数40•故事：这是一个真实的故事。发表在光明日报报业集团主办的文墒扳编辑部主办的《文摘报》，2002年３月３日第1931期上。题目为：“都市出现高新“女贫族”。内容大意如下：•“我这个做老辈儿的，越来越看不懂如今的年轻人了。”家住北京朝阳区的郭阿姨一提起自己的宝贝女儿小蕙止不住地唉声叹气。小蕙是郭阿姨的独生女，大学毕业后到外企就职。•“现在她变得不可理喻了，花钱象流水，这两年光彩电就换了三个，先是超平，后是纯平的，后来把一台大背投搬回了家，还说以后再换液晶显示的。她每月5000~6000块钱的工资却喊不够花，没钱就找银行借。我批评他两句，她就给我讲那个外国老太太和中国老太太的故事。”•这是一个讲滥了的故事，说的是一个外国老太太从年轻时就超前消费，享受了一辈子，死前刚把银行贷款还清。而一个中国太大一生劳累，省吃俭用，绐子女留下了可观的遗产，自己生前却几乎没有享受过什么。•如今，越来越多的向小蕙这样的中国白领女性开始向外国老太太看齐了。•象小蕙这样的白领女性被社会学界称为城市“高薪女贫族”。他们一般都是３5岁以下的中高等收入者，大多数收入花费在服饰、吃饭、交际、旅游上。月初有钱时，泡吧、购物、打车。月末囊中如洗，便蹭饭、借钱，却并不以此为优。•这一群体形成的社会原因是由于他们大多一出生就遇上搞市场经济，一长大就明白了国际化，一交流就用上了互联网。中国不断膨胀的消费文化正与他们的成长同步发展。•有关人士认为，“高薪女贫族”是城市的一种时尚病。他们的行为表明，他们只爱自己，而不承担应有的责任，不可提倡。41•评论：这一篇小短文所讲的正是本书这一章所介绍的贷款提前消费的问题。我们看到，提前消费可以使消费者一生的效用或生活水平得到大大的提高。因而是值得提倡的。而本文作者却认为这是城市的一种时尚病,是由于他们只爱自己，而不承担应有的责任，不可提倡。这个观点不一定正确。可以提倡在自己还贷能力内的超前货款消费。由于我国的消费者以及管理人员对经济学缺乏深入了解，消费观念的转变也需要时间。所以我国目前贷款提前消费还没有进入一个健康健全的轨道。42一、在实际中如何选择跨期消费的效用函数4321CCU4.026.01CC首先，考虑如下两期消费的柯布—道格拉斯型的效用函数442C224010033601239281C柯布—道格拉斯型效用函数的等效用线的渐近线45从图中可以看出，如果年轻时的消费1C=3360元/月，年老时的消费2C=2240元/月，那么效用函数的函数值为：U4.026.01CC=4.06.022403360=2856.95但是，如果年轻时的消费1C=123928.46元/月，年老时的消费2C=10元/月，那么效用函数的函数值为：U4.026.01CC=4.06.01046.123928=2856.9546•以上计算表明，如果年轻的时候每个月消费123928元、年老时候每个月消费10元,与年轻的时候每个月消费3360元、年老时候每个月消费2240元，两者的生活水平是一样的。这显然与我们的直觉不一样。因为尽管年轻的时候尽情享受,但是年老时候每个月消费10元是无法生存的。所以一般人并不希望这样的生活。反过来，如果年轻的时候每个月消费10元，年老时候每个月消费几十万元，该消费者的生活水平或者效用函数的数值也可能为2856.95，消费者更不喜欢这种选择。因为年轻的时候每个月消费10元早就饿死了,年老的时候是每个月消费钱再多也没什么用处了。由此可见,柯布—道格拉斯型的效用函数的数学表达式用来描述人们的消费行为的时候存在一些问题。47•我们再想办法采取更能反映人们消费行为的效用函数的数学表达式。考虑如下的改进型柯布--道格拉斯型效用函数的数学表达式：)400()600(21CCU4.026.01)400()600(CC482C40006001C改进型柯布--道格拉斯型效用函数的等效用线的渐近线49•如果我们采用这种形式的效用函数，那么不会产生年轻的时候消费数很大,而到年老的时候消费数很小而无法生存的现象，也不会产生年轻的时候消费很少而无法生存,但年老的时候消费很多的现象。5011211]4.06.0[CC/121][CbCaU•现在我们再来考虑如下的CES类型的效用函数的数学表达式：512C4000U=10000等效用线U=1000400060060001CCES型效用函数的等效用线的渐近线52从图中可以看出CES型效用函数的等效用线的渐近线并不是趋向于固定的轴线,而是随着效用值的增加而增加，例如，当U=1000的时候，趋向于C1=600元/月轴与C2=400元/月轴。C1=600元/月与C2=400元/月分别反映当生活水平为U=1000的时候，该消费者在年轻的时候与年老的时候每个月消费的最低消费数值。当U=10000的时候，趋向于C1=6000元/月轴与C2=4000元/月轴。C1=6000元/月与C2=4000元/月分别反映当生活水平为U=10000的时候，该消费者在年轻的时候与年老的时候每个月消费的最低消费数值。53•由以上的讨论我们可以看出，如果我们采用CES类型的效用函数的数学表达式,它能够更加准确地反映出人们的消费行为。它表明当人们的生活水平逐渐提高的时候,人们的最低生活水平消费支出额也逐