搜索
①点与圆；②直线与圆；③圆与圆．第2讲点、直线、圆与圆的位置关系1．(2008·湖州)已知两圆的半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切解析：∵d＝5cm，R＋r＝5cm，∴d＝R＋r，∴两圆外切．答案：B2．(2008·丽水)右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切解析：观察图案易知两圆外切．答案：C3．(2009·湖州)已知⊙O1与⊙O2外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距O1O2的长是()A．O1O2＝1B．O1O2＝5C．1O1O25D．O1O25解析：∵⊙O1与⊙O2外切，∴d＝R＋r＝2＋3＝5，即O1O2＝5.答案：B4．(2008·嘉兴)如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为()A.43B.34C.45D.35解析：设⊙A，⊙E半径分别为R，r，则AE＝R＋r，AB＝R，BE＝BC－CE＝R－r.在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，∴(R＋r)2＝R2＋(R－r)2，∴R＝4r.∴BE＝3r，AE＝5r，∴sin∠EAB＝BEAE＝3r5r＝35.答案：D5．(2010·湖州)如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB，CA的延长线于E，F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径．证明：(1)连结OD交AB于点G.∵D是AB的中点，OD为半径，∴AG＝BG.∵AO＝OC，∴OG是△ABC的中位线．∴OG∥BC，即OD∥CE.又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线．(2)解：在Rt△CEF中，CE＝6，EF＝8，∴CF＝10.设半径OC＝OD＝r，则OF＝10－r，∵OD∥CE，∴△FOD∽△FCE，∴FOFC＝ODCE，∴10－r10＝r6，∴r＝154，即⊙O的半径为154.6．(2010·衢州)如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB＝16cm，cos∠OBH＝45.(1)求⊙O的半径；(2)如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．解：(1)∵直线l与半径OC垂直，∴HB＝12AB＝12×16＝8.∵cos∠OBH＝HBOB＝45，∴OB＝54HB＝54×8＝10.∴⊙O的半径为10.(2)在Rt△OBH中，OH＝OB2－BH2＝102－82＝6.∴CH＝10－6＝4.∴向下平移的距离是4cm.知识点一点与圆的位置关系1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔dr；(3)点在圆外⇔dr.2．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．(3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离为半径．知识点二直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的有关概念(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线叫圆的切线；(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交⇔dr；(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；(3)直线l和⊙O相离⇔dr.知识点三切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线．2．切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．知识点四切线长定理1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理．．．．．：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．知识点五两圆的位置关系设R、r为两圆的半径，d为圆心距．(1)两圆外离⇔dR＋r；(2)两圆外切⇔d＝R＋r；(3)两圆相交⇔R－rdR＋r(R≥r)；(4)两圆内切⇔d＝R－r(Rr)；(5)两圆内含⇔dR－r(Rr)．(注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆)知识点六三角形(多边形)的内切圆1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；(2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．2．三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．知识点七两圆相交、相切的性质1．相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹的角．(注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线判定“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”，很容易证明．)2．相切两圆的连心线必经过切点．3．不等圆相离时，两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线的夹角．类型一点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系(1)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是()A．当a5时，点B在⊙A内B．当1a5时，点B在⊙A内C．当a1时，点B在⊙A外D．当a5时，点B在⊙A外(2)⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为5cm，圆心距O1O2＝2cm，这两圆的位置关系是()A．外切B．相交C．内切D．内含(3)有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个(4)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是________．【解答】(1)A通过画图和点与圆的位置关系判定条件可判断A不正确．注意：判断点与圆的位置关系关键是比较d与r的大小关系．(2)C考查圆与圆位置关系的确定，关键比较圆心距与R＋r、R－r之间的大小关系．(3)B掌握本节知识是做对此题的关键，①③④正确．(4)相离考查直线与圆的位置关系，关键比较圆心到直线的距离与r的大小关系．∵4cm3cm，∴直线l与⊙O相离．【点拨】数形结合的思想方法在本题中体现较多．类型二三角形的内切圆和圆的切线的判定(1)如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为()A．2B．3C.3D．23(2)如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C.①判断直线AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；②若AC＝8，cos∠BED＝45，求AD的长．【点拨】(1)考查三角形的内切圆，注意内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．(2)切线的判定方法有三种：①和圆仅有一个公共点的直线是圆的切线；②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．此小题利用③证明AC与⊙O的位置关系．【解答】(1)D连结O与三角形其中一顶点和一边的切点，构造直角三角形求解．(2)解：①AC与⊙O的相切，证明如下：∵OC⊥AD，∴∠AOC＋∠2＝90°.又∵∠C＝∠BED＝∠2，∴∠AOC＋∠C＝90°.∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切．②解：连结BD.∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°.在Rt△AOC中，∠CAO＝90°.∵AC＝8，∠ADB＝90°，cos∠C＝cos∠BED＝45，∴AO＝6，∴AB＝12.在Rt△ABD中，cos∠2＝cos∠BED＝45，∴AD＝AB·cos∠2＝12×45＝485.已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的直径为9cm，⊙O2的直径为4cm，则O1O2的长是()A．5cm或13cmB．2.5cmC．6.5cmD．2.5cm或6.5cm【解析】相切包含两种情况：内切和外切．当两圆内切时，O1O2＝R－r＝92－42＝2.5(cm)；当两圆外切时，O1O2＝R＋r＝92＋42＝6.5(cm)．故选D.【易错警示】两圆相切应包含两种情况：(1)内切；(2)外切．已知两圆相切时，既要考虑到两圆内切，又要考虑到两圆外切，不能忽略其中的任何一种情况．总之，考虑问题一定要全面．1．如果半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2内切，那么两圆的圆心距O1O2＝________cm.答案：12．已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是________．答案：53．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝________.答案：24．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为________cm.答案：165．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H.若OH＝2，AB＝12，BO＝13.求：(1)⊙O的半径；(2)AC的值．解：(1)∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AB.在Rt△AOB中，AO＝OB2－AB2＝132－122＝5.∴⊙O的半径为5.(2)∵OH⊥AC，∴在Rt△AOH中，AH＝AO2－OH2＝52－22＝21.又∵OH⊥AC，∴AC＝2AH＝221.6．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D，且PD与⊙O相切．(1)求证：AB＝AC；(2)若BC＝6，AB＝4，求CD的值．(1)证明：连结OP，则OP＝OB，则∠B＝∠OPB.又∵PD与⊙O相切，∴OP⊥PD.又∵PD⊥AC，∴OP∥AC.∴∠C＝∠OPB，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC.(2)解：已知AB＝4，∴AC＝4.连结AP.∵AB为直径，∴∠APB＝90°，即AP⊥BC.∵AB＝AC，∴P为BC的中点．∵BC＝6，∴PC＝3.∵∠DCP＝∠PCA，∠PDC＝∠APC，∴△CDP∽△CPA，∴CDPC＝PCAC，即CD3＝34，亦即CD＝94.7．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE.(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB＝22，BC＝2，求⊙O的半径．解：(1)直线CE与⊙O相切．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB＝∠DAC.又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE.连结OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°∴∠AEO＋∠DEC＝90°.∴∠OEC＝90°，即直线CE与⊙O相切．(2)∵tan∠ACB＝ABBC＝22，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝2，∴AC＝6.又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝22.∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.方法一：在Rt△CDE中，CE＝CD2＋DE2＝3，连结OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(6－r)2＝r2＋3，解得r＝64.方法二：AE＝AD－DE＝1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM＝12AE＝12.在Rt△AMO中，OA＝AMcos∠EAO＝12÷26＝64.一、选择题1．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是()A．相交B．外切C．外离D．内含解析：