工程问题

六年级奥数之工程问题一.基本公式•工程问题是应用题中的一种类型。在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量（即工量）、工作时间（完成工作总量所需时间即工时）和工作效率（单位时间内完成的工作量即工效）：①工作效率×工作时间=工作总量②工作总量÷工作时间=工作效率③工作总量÷工作效率=工作时间二.基本思路①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.•而把工量看做单位1时，工效即用工时的倒数来表示。•关键问题：不管题型如何，都要学会确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。三.例题讲解•例1.一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析：①设这项工程为1个单位，将所有题设条件转化为数学语言：甲乙合作工效1/12，乙丙合作工效1/15，甲丙合作工效1/20②观察设问：如何求得甲乙丙三队合作的工时？时间=工作总量÷工作效率如今由①知工作总量为1，欲求工时，需知工效.经简单计算可知，不能由题设条件推导出甲乙丙三队合作的工效和…..再次读题可发现，甲乙丙在相关工效条件中均出现两次，则可得出：甲乙丙三队合作的工效和的2倍：1/12＋1/15＋1/20易得：甲乙丙三队合作的工效和：(1/12＋1/15＋1/20）÷2接下来由基本公式求解1÷[（1/12＋1/15＋1/20）÷2]＝10(天)③答：如果由甲乙丙三队合作需10天完成。•例1.一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？习题1.一件工作，甲5小时完成了1/4，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲乙合作，还需要多少时间才能完成？思路：1.假设工作总量为“1”2.联系基本公式，层层剥离，找出问题关键点：甲工效1/4÷5＝1/20乙工效（1-1/4）×1/2÷6＝1/16分析：①设这项工程为1个单位，将所有题设条件转化为数学语言：工作时间=工作总量÷工作效率②观察设问：如何求得甲乙合作完成余下部分工作所需的工时？即有：“工作总量”1-1/4-（1-1/4）÷2=3/8甲乙总工效1/20＋1/16=9/80下面分解第②问，则知需求出“工作总量”和工作效率：“工作总量”不再是单位1，而是题设问题中“余下部分工作”总量：同时，工效也不再单纯是甲乙各自的工效，而是甲乙合作的工效和。自然地，所求工时3/8÷9/80=10/3（小时）③答：甲乙合作完成余下部分工作需10/3小时.习题1.一件工作，甲5小时完成了1/4，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲乙合作，还需要多少时间才能完成？思路：甲、乙各自的工效→求得工效差→即为3个零件在整批零件中所占比例→利用部分与整体的比例关系求得整批零件个数例2.加工一批零件，甲乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的2/5没有完成。已知甲每天比乙多加工3个。求这批零件有多少个？①甲乙合作12天，完成了总工程的几分之几？1/24×12=1/2②（甲工效）甲一天能完成全工程的几分之几？（3/5-1/2）÷（16-12）=1/40③（乙工效）乙一天能完成全工程的几分之几？1/24-1/40=1/60④这批零件共多少个？3÷（1/40-1/60）=360(个)⑤答：这批零件共360个。例2.加工一批零件，甲乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的2/5没有完成。已知甲每天比乙多加工3个。求这批零件有多少个？分析：由于题设条件比较复杂，现采用“排除法”对工量、工时、工效进行筛选以寻找解题突破口：1.首先，因设问即要求求出工量，且部分工量2/5“孤立无援”，排除从工量下手的可能。2.其次，因题中大量出现工时数据，故尝试从工时切入：工量=工时×工效而正因工时数据繁杂，若从工时切入则需要找出诸多与每一工时相对应的工效，计算受阻，故排除从工时下手的可能；A.甲做16天和乙又做12天完成工程的3/5，可转化为甲乙合作12天后，乙接着做4天共完成工程的3/5；B.又知道甲乙二人合作24天可以完成,因此甲单独做所用天数可以求出，则乙单独做所用天数迎刃而解。(即求得工时)C.工效可用工时的倒数表示，则可由B步骤得出甲乙各自工效。3.经排除，只能以工效为突破口进行解题。习题2.师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，由徒弟接着做3天，共完成任务的7/10。如果每人单独做这批零件各需几天？思路：1.假设工作总量为“1”2.联系基本公式，层层剥离，找出问题关键点：要求：参照例2，写出大概思路，不作具体标准要求。提示：解题思维和例2有点类似(⊙o⊙)哦~~~2.要求每人单独做各需几天，摆明了是求工时则有相关公式：工时=工量÷工效又已知该批零件总量为单位1→问题转化为求师徒二人各自的工效分析：1.题设条件:师徒工效和1/6习题2.师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，由徒弟接着做3天，共完成任务的7/10。如果每人单独做这批零件各需几天？3.关键：师傅先做5天接着徒弟做3天转化为师徒合作3天接着师傅再做2天师傅工效(7/10-1/6×3)÷2=1/10徒弟工效1/6-1/10=1/15由公式得师傅单独做需10天徒弟单独做需15天答：师傅单独做需10天；徒弟单独做需15天。四、课后习题1.一项工作，甲单独做20天可完成，乙单独做30天可完成。现在两人合做，用16天就完成了工作。已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．问：乙休息了多少天？2.甲乙两人共同加工一批零件，8小时可完成任务。若甲单独加工需12小时。现甲乙共同加工12/5小时后，甲撤出，由乙继续生产420个零件后才完成任务。问：乙一共加工零件多少个？五、习题答案解:1.假设总工作量为“1”，故由题可得甲工效：1/20乙工效为：1/301.一项工作，甲单独做20天可完成，乙单独做30天可完成。现在两人合做，用16天就完成了工作。已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．问：乙休息了多少天？2.甲所完成的工量占总工量：（16-2）÷20=7/10；3.乙工时：3/10÷1/30=9故乙休息的天数为16-9=7天答：乙休息了7天。乙所完成的工量占总工量：1-7/10=3/102.甲乙两人共同加工一批零件，8小时可完成任务。若甲单独加工需12小时。现甲乙共同加工12/5小时后，甲撤出，由乙继续生产420个零件后才完成任务。问：乙一共加工零件多少个？解：乙单独加工，每小时加工1/8-1/12=1/24甲撤出后，剩下工作乙需做[1-（12/5）×（1/8）]÷（1/24）=84/5所以乙每小时加工零件420÷（84/5）=25（个）即乙12/5小时加工(12/5)×25=60（个）则乙一共加工420+60=480（个）简单提问：利用什么公式？工时×工效=工量请问：该式使用了什么公式？工量÷工效=工时答：乙一共加工零件480个。1、王师傅加工一批零件，计划在六月份每天都能超额完成当天任务的15%，后来因机器维修，最后的5天每天只完成当天任务的八成，就这样，六月份共超额加工660个零件，王师傅原来的任务是每天加工多少个零件？首先我们知道6月有30天将额定每天完成的任务看作单位1每天超额15%，一共工作30-5=25（天）每天超额完成15%，25天共超额25×15%＝375%每天完成八成，5天少完成5×(1-80%)=100%这个月共超额完成375%-100%=275%660÷275%=240(个）2、一堆饲料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃几天解：将这堆饲料的总量看作单位13牛和5羊可以吃15天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/155牛和6羊可以吃10天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/10我们此时把3牛5羊看作一个整体，5牛6羊看作1个整体，每天吃饲料的1/15+1/10=1/6那么这堆饲料可以供8牛11羊吃1/（1/6）=6天3、甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比独做时提高了十分之一，乙的工作效率比独做时提高了五分之一，甲、乙两人合作4小时，完成全部工作的五分之二。第二天乙又独做了4小时，还剩下这件工作的三十分之十三没完成。这项工作甲独做需要几个小时才能完成？乙独做4小时完成全部工程的1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6乙的工作效率=（1/6）/4==1/24乙独做需要1/（1/24）=24小时乙工作效率提高1/5后为（1/24）x（1+1/5）=1/20甲乙提高后的工作效率和=（2/5）/4=1/10那么甲提高后的工作效率=1/10-1/20=1/20甲原来的工作效率=（1/20）÷（1+1/10）=1/22甲单独做需要1÷（1/22）=22小时一项工程A、B两人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接着做7天，可以完成，B单独完成这项工程需要多少天？AB合作，每天可以完成1/6A先做3天，B再做7天，可以看做AB合作3天，B再单独做7-3=4天AB合作3天，可以完成：1/6×3=1/2B单独做4天，完成了1-1/2=1/2B单独做，每天完成：1/2÷4=1/8B单独完成，需要：1÷1/8=8天甲、乙二人同时开始加工一批零件，加单独做要20小时，乙单独做30小时。现在两人合作，工作了15小时后完成任务。已知甲休息了4小时，则乙休息了几小时？总的工作量为单位1甲的工作效率=1/20乙的工作效率=1/30甲乙工作效率和=1/20+1/30=1/12甲休息4小时，那么甲工作15-4=11小时，甲完成1/20×11=11/20乙完成1-11/20=9/20完成这些零件乙需要（9/20）/（1/30）=27/2小时那么乙休息15-27/2=3/2小时=1.5小时一间教室如果让甲打扫需要10分钟，乙打扫需要12分钟。丙打扫需要15分钟。有同样的两间教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同时开始打扫，丙先帮助甲打扫，中途又去帮助乙打扫教室，最后两个教室同时打扫完，丙帮助甲打扫了多长时间？（中途丙去乙教室的时间不计）将工作量看作单位1甲的工作效率=1/10乙的工作效率=1/12丙的工作效率=1/15甲乙丙合干完成1间教室需要1/（1/10+1/12+1/15）=4分钟解：设丙帮甲a分钟a分钟甲丙完成（1/10+1/15）a=a/6那么剩下的1-a/6需要甲独自完成乙a分钟完成a/12那么剩下的1-a/12需要乙丙完成需要的时间=（1-a/12）/（1/12+1/15）=（1-a/12）/（3/20）根据题意（1-a/6）÷（1/10）=（1-a/12）÷（3/20）将工作量看作单位1甲的工作效率=1/10乙的工作效率=1/12丙的工作效率=1/15甲乙丙合干完成1间教室需要1/（1/10+1/12+1/15）=4分钟两间教室都是一样的工作量，那么实际就是甲乙丙三人共同完成，上面已经解出完成1间需要4分钟，那么完成2间需要4×2=8分钟，甲8分钟完成1/10×8=4/5，那么丙需要完成1-4/5=1/5所以丙帮甲（1/5）/（1/15）=3分钟那么丙帮乙8-3=5分钟明明和乐乐在同一所学校学习，一天班主任老师问他俩各人的家离学校有多远。明明说：“我放学回家要走10分钟”，乐乐说：“我比明明多用4分钟到家”。老师又问：“你俩谁走的速度快一些呢？”乐乐说：“我走得慢一些，明明每分钟比我多走14米，不过，我回家的路程要比明明多1/6”。班主任根据这段对话，很快算出他俩的路程。你会算吗解：设乐乐的速度为x，则明明的速度（x+14）。6/7*14x=10（x+14）12x=10x+140x=70明明：（70+14）*10=840（m）乐乐：840*(1+1/6)=980（m）明明和乐乐在同一所学校学习，一天班主任老师问他俩各人的家离学校有多远。明明说：“我放学