第7节 立体几何中的向量方法(一)――证明平行与垂直

1《创新设计》2019版高三一轮总复习实用课件数学2目录目录CONTENTS@《创新设计》第7节立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直01020304考点三考点一考点二例1训练1利用空间向量证明平行问题利用空间向量证明垂直问题用空间向量解决探索性问题(多维探究)诊断自测例2训练2例3-1例3-2训练33目录@《创新设计》诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a∥α.()解析(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a⊥α；(3)两平面平行或重合；(4)a∥α或a⊂α.答案(1)×(2)×(3)×(4)×4目录@《创新设计》考点一利用空间向量证明平行问题[例1](一题多解)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键证明法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0).设点C的坐标为(x0，y0，0).因为AQ→＝3QC→，所以Q34x0，24＋34y0，12.因为M为AD的中点，故M(0，2，1).Oyzx5目录@《创新设计》考点一利用空间向量证明平行问题[例1](一题多解)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键又P为BM的中点，故P0，0，12，所以PQ→＝34x0，24＋34y0，0.又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故PQ→·a＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.Oyzx6目录@《创新设计》考点一利用空间向量证明平行问题[例1](一题多解)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键法二在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).∵CF→＝14CD→，设点F坐标为(x，y，0)，则(x－x0，y－y0，0)＝14(－x0，2－y0，0)，∴x＝34x0，y＝24＋34y0，∴OF→＝34x0，24＋34y0，0OyzxF7目录@《创新设计》考点一利用空间向量证明平行问题[例1](一题多解)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键又由法一知PQ→＝34x0，24＋34y0，0，∴OF→＝PQ→，∴PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD.OyzxF8目录@《创新设计》考点一利用空间向量证明平行问题1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.2.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.9目录@《创新设计》考点一利用空间向量证明平行问题【训练1】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1.证明建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).得E1，12，0，F12，0，0，G1，0，12，EF→＝－12，－12，0，EG→＝0，－12，12.设n1＝(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，则n1·EF→＝0，n1·EG→＝0，10目录@《创新设计》考点一利用空间向量证明平行问题【训练1】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1.即－12x1－12y1＝0，－12y1＋12z1＝0.令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，同理可得x2＝1，y2＝－1，z2＝－1.则n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，－1).由n1＝n2，得平面EFG∥平面B1CD1.11目录@《创新设计》考点二利用空间向量证明垂直问题[例2]如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.证明(1)取BC的中点O，连接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，BC为交线，PO⊂平面PBC，△PBC为等边三角形，即PO⊥BC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.Oxyz12目录@《创新设计》考点二利用空间向量证明垂直问题[例2]如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.Oxyz不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝3.∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，3).∴BD→＝(－2，－1，0)，PA→＝(1，－2，－3).∵BD→·PA→＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴PA→⊥BD→，∴PA⊥BD.13目录@《创新设计》考点二利用空间向量证明垂直问题[例2]如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.Oxyz(2)取PA的中点M，连接DM，则M12，－1，32.∵DM→＝32，0，32，PB→＝(1，0，－3)，∴DM→·PB→＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM→⊥PB→，即DM⊥PB.∵DM→·PA→＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM→⊥PA→，即DM⊥PA.又∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.M14目录@《创新设计》考点二利用空间向量证明垂直问题1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.15目录@《创新设计》考点二利用空间向量证明垂直问题[训练2]如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.证明：A1C⊥平面BB1D1D.证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB＝AA1＝2，所以OA＝OB＝OA1＝1，所以A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1).由A1B1→＝AB→，易得B1(－1，1，1).因为A1C→＝(－1，0，－1)，BD→＝(0，－2，0)，BB1→＝(－1，0，1)，所以A1C→·BD→＝0，A1C→·BB1→＝0，所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1.又BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，所以A1C⊥平面BB1D1D.xyz16目录@《创新设计》考点三用空间向量解决探索性问题(多维探究)命题角度1与平行有关的探索性问题[例3－1](2016·北京卷改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD且AB∩PA＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.(2)解取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.O17目录@《创新设计》考点三用空间向量解决探索性问题(多维探究)因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.如图，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).设M是棱PA上一点，O则存在λ∈[0，1]，使得AM→＝λAP→.因此M(0，1－λ，λ)，BM→＝(－1，－λ，λ).因为BM⊄平面PCD，所以BM∥平面PCD，当且仅当BM→·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝14.所以在棱PA上存在点M，使得BM∥平面PCD，此时AMAP＝14.xyz18目录@《创新设计》考点三用空间向量解决探索性问题(多维探究)则BH＝1，AH＝3，CH＝3，∴AC＝23，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB，命题角度2与垂直有关的探索性问题[例3－2]如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求证：AC⊥BF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出BPPE的值；若不存在，请说明理由.(1)证明∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.又AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H，∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB，∴AC⊥平面FAB，∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.H19目录@《创新设计》x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，考点三用空间向量解决探索性问题(多维探究)以A为坐标原点，AB→，AC→，AF→的方向分别为C(0，23，0)，E(－1，3，2).(2)解存在.由(1)知，AF，AB，AC两两垂直，设BP→＝λPE→，则λ0，P2－λ1＋λ，3λ1＋λ，2λ1＋λ.设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z).由AP→＝