半导体物理 吉林大学 半物第四章

第四章电子和空穴的统计分布●4.1状态密度●4.2费米分布函数●4.3能带中的电子和空穴密度●4.4本征半导体●4.5杂质能级的占据几率●4.6只含一种杂质的半导体●4.7有杂质补偿的半导体●4.8简并半导体电子和空穴的统计分布•完整的半导体中电子的能级构成能带，有杂质和缺陷的半导体在禁带中存在局域化的能级—杂质能级和缺陷能级。•实践证明：半导体的导电性强烈地随着温度及其内部杂质含量变化，主要是由于半导体中载流子数目随着温度和杂质含量在变化。•本章讨论：1、热平衡情况下载流子在各种能级上的分布；2、计算导带电子和价带空穴的数目，分析它们与半导体中杂质含量和温度的关系。两个重要概念：(VIP)费米能级(Fermilevel)电中性条件§4.1状态密度由k空间的状态密度求出导带和价带的状态密度：k空间单位体积中的状态数1.布里渊区体积＝倒原胞体积＝：原胞体积．每个布里渊区中含N个状态（不考虑自旋）．（N:晶体中的原胞数）则：单位体积中的状态数为N/==（V＝晶体体积)考虑自旋后，倒空间中单位体积的状态数为：3)2(3)2(3)2(N3)2(V3)2(2V2.以能量为尺度的状态密度讨论具体问题时，经常使用的是以能量为尺度的状态密度N(E)N(E)定义：单位体积的晶体中，单位能量间隔的状态数根据能量E和波矢k之间的函数关系，由k空间的状态密度求出导带和价带中的状态密度)E(N一、导带由于导带电子一般都集中于导带底附近的状态中，则只需要计算导带底附近的状态密度。设导带底不在布里渊区中心，有M个彼此对称的能谷，k0处的能谷附近电子能量为：上式表明,K空间的等能面是一个椭球面.]m)kk(m)kk(m)kk([2E)k(E3203220212012c考虑能量为Ec至E范围内的电子态，其波矢量k一定包含在这个椭球内波矢的数目==每个能谷中电子态数目相同，则所有能谷中的状态数=K21232122212132223422CCCEEmEEmEEmV23321321838CEEVhmmm23321321838CEEVMhmmm所以单位体积的晶体中，能量为E至E+dE范围内的电子态数目：其中NC(E)为导带的状态密度.令则NC(E)可表示为mdn为导带电子状态密度有效质量.dEEEhmmm8M4dEEN21C321321C3132132dnmmmMm21C323dnCEEhm24)E(N对于导带底在布里渊区中心的简单能带结构，Ｍ＝１，等能面为球面，电子的有效质量为一标量mn*，此时mdn=mn*．状态密度公式仍然适用。(4.6)状态密度与有效质量有关,有效质量大的能带,状态密度也大。.E1NC(E)NV(E)2图4.1状态密度与能量的关系导带的状态密度随着电子能量的增加按着抛物线关系增大，导带底附近，电子能量越高，状态密度越大；如图４.１所示：二、价带Ge、Si、GaAs等一些主要的半导体材料，价带顶都是在布里渊区的中心，都是简并的。它们的等能面可近似地用两个球面来代替:,m2kE)K(Eh22Vl22Vm2kE)K(E上式中,mh和ml分别是重空穴和轻空穴的有效质量，EV为价带顶的能量.利用与上面类似的推导方法,得出价带的状态密度其中23l23h23dpmmm为价带空穴的状态密度有效质量.NV(E)与E的关系如图4.1所示.21v323dpvEEhm24)E(NE1NC(E)NV(E)2图4.1状态密度与能量的关系价带的状态密度随着电子能量的增加同样按着抛物线关系增大，价带顶附近，空穴能量越高，状态密度越大；§4.2费米分布函数一、导出费米分布函数的条件（适用性）⑴把半导体中的电子看作是近独立体系,即认为电子之间的相互作用很微弱.⑵电子的运动是服从量子力学规律的,用量子态描述它们的运动状态.电子的能量是量子化的,即其中一个量子态被电子占据,不影响其他的量子态被电子占据.并且每一能级可以认为是双重简并的,这对应于自旋的两个容许值.⑶在量子力学中,认为同一体系中的电子是全同的,不可分辨的。任意两个电子的交换，不引起新的微观状态。⑷电子在状态中的分布,要受到泡利不相容原理的限制.适合上述条件的量子统计,称为费米-狄拉克统计.能带中的电子在能级上的分布，服从费米-狄拉克统计规律。二、费米分布函数和费米能级⒈费米-狄拉克统计分布：热平衡时,能量为E的单电子态被电子占据的几率为1KTEEexp1EfF其中,F(E)被称为费米分布函数,它描述每个量子态被电子占据的几率随E的变化.K是波尔兹曼常数,T是绝对温度,EF是一个待定参数,具有能量的量纲,称为费米能级.(4.10)⒉EF的确定⑴.在整个能量范围内状态被占据的数目等于实际存在的电子总数N。设能级能量为E的量子态有G(E)个,则有NEfEGE或N1kTEEexpEGEFEF是反映电子在各个能级中分布情况的参数.与EF相关的因素:①与表示量子态分布的函数G(E)有关;(内因)②与电子总数N有关，（如掺杂）③与温度T有关;(外因)对于具体的电子体系,在一定温度下,只要EF确定了,电子在能级中的分布情况就完全确定了.(2)由热力学统计理论费米能级EF是半导体中大量电子构成的热力学系统的化学势.TFNFE代表系统的化学势,F是系统的自由能.意义:热平衡时,系统每增加一个电子,引起的系统自由能的变化,等于系统的化学势,即系统的费米能级.处于热平衡状态的系统有统一的化学势，所以处于热平衡状态的电子系统,有统一的费米能级.注:化学势jnPTiinG,,当温度T，压力p和所有其他组分ni都保持不变的情况下，增加1摩尔i物质时体系Gibbs自由能的增加量，就称为i物质的化学势。三、费米分布函数性质⒈量子态：空着的，或被电子占据的。能量为E的量子态未被电子占据(空着)的几率是：1kTEEexp1Ef1F费米分布函数的性质:⑴随着能量E的增加,每个量子态被电子占据的几率Ef逐渐减小,而空着的几率Ef1则逐渐增大.即电子优当E等于EF时,有21Ef1EfFF先占据能量较低的能级.被电子占据的几率与空着的几率相等.EF实际上是一个参考能级,低于EF的能级被电子占据的几率大于空着的几率;能量高于EF的量子态,被电子占据的几率则小于空着的几率.1.0Ef10.5Ef0KTEEF图4.2分布函数随KTEEF的变化从图4.2可以看出,函数Ef和Ef1相对于费米能级EF是对称的.⑵.E-EFkT时,kTEexpkTEexpkTEEexpEfFF此时分布函数的形式同经典的波尔兹曼分布是一致的.对于能级比EF高很多的量子态,被电子占据的几率非常小,因此泡利不相容原理的限制显得就不重要了.⑶.EF-EkT时,kTEexpkTEexpkTEEexpEf1FF上式给出的是能级比EF低很多的量子态,被空穴占据的几率.kTEexp因子中无负号是因为上式中的E表示电子的能级.在电子能级图中,电子从低能级跳到高能级,相当于空穴从高能级跳到低能级,所以在越高的电子能级上空穴的能量越低.空穴占据能量高的电子能级（也就是空穴能量低的能级）的几率大，因而，和Boltzman分布完全一致。⑷当T=0K时,；，0EfEEF.1EfEEF，当T0K时,例:；时，007.0EfKT5EEF.993.0EfKT5EEF时，；21Ef.21EfFEEFEEEF标志电子填充能级的水平扩充：1KTEEexp1EfF§4.3能带中的电子和空穴浓度为了计算单位体积中导带电子和价带空穴的数目,即载流子浓度,必须先解决下述两个问题:1、能带中能容纳载流子的状态数目;2、载流子占据这些状态的几率.通常所遇到的杂质浓度不太高的情况下,费米能级是在禁带中,EC-EForEF-EVKT,载流子遵循波尔兹曼统计规律。通常把这种经典统计适用的情况,称为非简并化情况。一、导带电子浓度单位体积晶体中能量在E~E+dE范围内的导带电子数为:dEENEfdEEnC整个导带中的电子浓度为dEEfENdEEndEEnnCCCECEEE顶因为随着能量的增加而迅速减小,所以把积分范围由导带顶EC一直延伸到正无穷,并不会引起明显的误差。实际上对积分真正有贡献的只限于导带底附近的区域。于是,导带的电子浓度n为EfdEKTEEexpEEhKTm24nF21EC323dnC引入变数KTEEC,上式可以写成021FC323dndeKTEEexphKTm24n把积分2de021代入上式中,有KTEEexphKTm22nFC323dn若令323dnChKTm22N则导带电子浓度n可表示为：KTEEexpNnFCCNC称为导带的有效状态密度.导带电子浓度可理解为:导带底状态密度为NC,电子占据几率为f(EC),导带中电子浓度n为NC中电子占据的量子态数目.Nc与mdn，T有关(4.22)二、价带空穴浓度单位体积中,能量在E～E+dE范围内的价带空穴数p(E)dE为dEENEf1dEEpV整个价带的空穴浓度为kTEEexpNdEENEf1pVFVVEV其中323dpVhkTm22N称为价带的有效状态密度.(4.25)导带和价带有效状态密度是很重要的量,根据它可以衡量能带中量子态的填充情况.如:nNC,就表示导带中电子数目稀少.把有效状态密度中的常数值代入后,则有:323dn2319323dnCcmmm300T1050.2hkTm22N323dp2319323dpVcmmm300T1050.2hkTm22N这里,m是电子的惯性质量.对于三种主要的半导体材料,在室温(300K)情况下,它们的有效状态密度的数值列于表4.2中.表4.2导带和价带有效状态密度(300K)SiGeGaAsNC(cm-3)NV(cm-3)19108.2191004.117107.4191004.118100.618100.7KTEEexpNnFCCKTEEexpNpVFV只要确定了费米能级EF,就可以根据这两个关系式得到导带电子浓度和价带空穴浓度.三、载流子浓度的乘积电子和空穴浓度都是费米能级EF的函数,两者的乘积为kTEexpNNkTEEexpNNnpgVCVCVC式中Eg=EC-EV为半导体材料的禁带宽度。上式表明，载流子浓度的乘积np与EF无关，只依赖于温度T和半导体材料本身的性质。REVIEW1KTEEexp1EfF费米分布函数：描述每个量子态被电子占据的几率随E的变化晶体中的电子,在能带中能级上的分布,服从费米分布.EF：费米能级，反映电子在各个能级中分布情况的参数.与EF相关的因素:①与表示量子态分布的函数G(E)有关;(内因)②与电子总数N有关，（如掺杂）③与温度T有关;(外因)REVIEWE＝EF21Ef1EfFF；21Ef.21EfFEEFEEEF标志电子填充能级的水平能量为E的量子态,REVIEW能量为E的量子态,:)E(f,KTEEF为费米分布函