半导体物理 第2章-半导体能带-赵老师-2012

1物理与光电工程学院第2章半导体能带Chapter2EnergyBandofSemiconductor2物理与光电工程学院本章要点了解波函数和薛定谔方程的意义。掌握晶态半导体中能带理论的处理方法和过程。理解能带的特点，能带的杂化。理解半导体、绝缘体、半导体能带结构的区别。晶体中电子运动的经典描述－－有效质量概念。了解晶体硅回旋共振现象及其机理。熟悉典型半导体材料的能带结构的异同。掌握半导体掺杂产生杂质能级，形成n或p型半导体的机理。3物理与光电工程学院2.1电子波函数与薛定谔方程WavefunctionandSchrÖdingerEquationofElectrons粒子的能量E和动量p与平面波的频率和波长之间的关系为：4物理与光电工程学院2.1.1实验基础：微观粒子的二象性式中：称为波数，为普朗克常数。德布罗意平面波：khphvE;2k2h（2-1）（2-2）trexptrpexp－－kiAEiA5物理与光电工程学院2.1.2波函数的统计解释dtzyxΨCtzyxW2,,,,,,d假设波函数用以表示粒子的状态，并以dW（x,y,z,t）表示时刻t、在点（x,y,z)附近的体积元内找到粒子的概率，则：dxdydzd＝tzyxΨ，，，（2-3）6物理与光电工程学院2.1.3波函数的运动方程：薛定谔方程薛定谔方程拉普拉斯算符r222Umti2222222zyx＝薛定谔方程描述在势场中粒子状态随时间的变化，也称微观粒子波动方程。只要知道势场的具体形式就可求解该方程得到粒子波函数的具体形式，从而得出粒子的运动状态和能量状态。)(rU（2-4）7物理与光电工程学院考虑势场与时间t无关的情况，薛定谔方程的特解可以写成分离变量的形式：tfrtr，（2-6）)(rU（2-5）分离变量法可解得：rrrr2)exp(22EUmEtitf（2-7）（2-8）式中E为常数。8物理与光电工程学院2.1.4自由电子波函数和能量假设一个质量为的电子在具有恒定势（设势场为0）的自由空间中运动，在一维的情形下，电子运动遵循的薛定谔方程为：)(xd)(d22202xExm＝kxAxiexp)(＝此方程的解为：（2-9）式中，称k为波矢，由关系式给出,（2-10）0m0222mkE这就是自由电子的波函数，表示一平行于x轴传播的平面波。),(k9物理与光电工程学院2.1.4自由电子波函数和能量所以，含时间的波函数表示为：)]-Aexp[i(t)exp(-i)(),(tkxxtx＝（2-11）此式与德布罗意平面波（2-2）式在一维情况下有完全相同的形式。对比德布罗意关系(2-1)，电子的动量和能量与波函数中的k、ω的关系为：kpE;（2-12）10物理与光电工程学院2.1.4自由电子波函数和能量0mp（2-13）比较(2-12)和（2－13），自由电子运动速度和能量可以表示为：0mk0221mpE0222mkE依据经典理论，以速度作自由运动的电子其动量p和能量E可以表示为022mk且：11物理与光电工程学院2.1.4自由电子波函数和能量自由电子能量与波矢的关系图12物理与光电工程学院2.2周期性势场中运动的电子13物理与光电工程学院2.2.1周期势场中的薛定谔方程及布诺赫波函数周期势场实际晶体中，电子是在晶格中所有格点上的离子实及其所有的电子共同所产生的势场中运动，这个势场具有与晶格相同的周期性。Phase1多电子问题Phase2Phase3单电子近似能带理论14物理与光电工程学院2.2.1周期势场中的薛定谔方程及布诺赫波函数对于一维的无限晶格，晶格中任一位置为x处的势能可表示为：在一维晶格中运动所遵循的薛定谔方程为：（2-17）saV＋xV(x)0xxVEm2dxxd22＝－＋),2,1,0(s15物理与光电工程学院2.2.1周期势场中的薛定谔方程及布诺赫波函数（2-18）（2-19）kxukiexpxx＝naxuxukk＝),2,1,0(nNalk2周期性边界条件注*要求：布洛赫定理：)(x可以写成平面波的形式，但平面波的振幅是一个与晶格周期性势场有相同周期的函数。即：),2,1,0(lx＝Nax注：有关周期性边界条件的看法：首先，我们一直把晶格看作无穷大，即晶格具有平移对称性，但是，平移对称性在实际晶体的边界受到破坏；其次，在具有平移对称性的晶格中，格波具有行波的性质。而周期性边界条件可以保持晶格的平移对称性，.在有限大晶格情形，当组成晶格的原子中够多时，边界效应可以忽略不计，但当原子数少时，大部分的原子不再具有平移对称性，边界效应变得显著，晶体性质发生改变，周期性边界条件不再适用。所以，周期性边界条件只是一种近似，且在原子数足够多时是一种很好的近似。16物理与光电工程学院2.2.1周期势场中的薛定谔方程及布诺赫波函数在三维情况下的波函数可写为：rkrurkiexp＝n332211Rruanananrurukkk＝（2-20）（2-21）aNlkaNlk，aNlkzyx3322112,22其中17物理与光电工程学院2.2.1周期势场中的薛定谔方程及布诺赫波函数1.晶体中电子的波函数是一个调幅的平面波；2.波函数振幅的周期与晶格周期相同；3.沿晶体不同方向的势函数不同,波函数也不同;4.布洛赫函数是晶体中电子波函数的普遍形式。小结18物理与光电工程学院2.2.2晶体中的电子的波函数和能量-准自由电子近似准自由电子近似把晶体的周期势场看为一个弱势场，认为是对自由电子情况下的微扰。这样，自由电子波函数和能量可以作为零级近似函数和零级近似能量。19物理与光电工程学院2.2.2准自由电子近似下的波函数和能量晶格周期性势场的傅里叶级数展开：axnVVnn2iexpx＝axnVVnn2iexp'0电子波函数满足：xxxVdxxdm222E＝＋－（2-22）'0HV1.且偏差不太小时20物理与光电工程学院2.2.2准自由电子近似下的波函数和能量用量子力学的微扰理论可以解得：电子波函数为：xanmankkVxunnk2iexp2//21)(02222'－＋xukxxkiexpL1)(（2-23）（2-24）,212ankNalkn为一维晶体的长度，式中NaLNalk2),2,1,0(l21物理与光电工程学院2.2.2准自由电子近似下的波函数和能量电子的能量表达式为：（2-25）Nank20kkkkkkkEEHVEE002'00＝0202021mkEk即：电子的能量与波矢不再存在简单的抛物线关系，而出现复杂的依赖关系！22物理与光电工程学院2.2.2准自由电子近似下的波函数和能量（2-24）2.当时ank此时需要用简并微扰理论来处理，解得：2n20'00'0k421VEEEEEkkkk＋＋＋＝（2-28）ank'23物理与光电工程学院2.2.2准自由电子近似下的波函数和能量当时，，式（2-28）变为：n0VEEka/kn＝0'0kkEE在时能量不连续，简并消除，其能量间隔为:||2VEEEngank即：电子的能量在布里渊区边界不连续！24物理与光电工程学院2.2.2准自由电子近似下的波函数和能量对于k在n/a附近的能量:＋＝1ank和－＝－1ank代表一个很小的量，假定：22n2anmT0式中令：nn2nn0n21VTTVVTE＋＋aπaπanπk25物理与光电工程学院2.2.2准自由电子近似下的波函数和能量由于弱的周期性势场的作用,电子的能量在波矢为aπaπanπk...)2,1,0(nank处不连续.换言之,电子不能处于上述波矢对应的状态中....)2,1,0(/22nankkna波矢不连续是反射波的相干迭加的结果:26物理与光电工程学院2.2.2准自由电子近似下的波函数和能量可以证明（固体物理学,方俊鑫，陆栋，上海科学技术出版社，1980年，P203，P216）)()(2xxakk即k和k+2/a所表示的两个电子状态是相同的。因此在K空间中电子的能量是波矢的周期函数，周期是倒格子空间的基矢。27物理与光电工程学院2.2.2准自由电子近似下的波函数和能量(a)E(k)和k的关系;(b)能带;(c)简约布里渊区图2-4E(k)与k的关系aπaπaπaπ234aπaπaπaπ4320aπaπ028物理与光电工程学院结论2.2.2准自由电子近似下的波函数和能量.在晶体中，描述电子的波函数可以表述为振幅被晶格的周期势场调幅的平面波：rkrurkkiexp＝332211anananrurukk＝.电子处于上述波函数时，其能量与波矢k存在复杂的关系；.若让波矢k对应于倒格子空间的位置矢量，那么在布里渊区边界上能量不连续，即电子不允许取某些能量值，从而出现禁带；.电子能量是波矢k的周期函数，周期为倒格子空间原胞的基矢。29物理与光电工程学院2.2.3能带的另一种理解：晶体电子的共有化运动电子的共有化运动30物理与光电工程学院作业(2011-09-23)：以一维晶格为例，试用波的散射增强来解释禁带的产生。在倒格子空间中，能量不连续对应的波矢位于布里渊区的什么位置？31物理与光电工程学院前述内容要点：在周期性势场中运动的电子的状态可用布洛赫波函数；由于边界条件的要求，布洛赫波函数中的波矢只能取分立的值；由于反射波函数干涉相长的影响，在倒格子空间中布里渊区边界附近的波矢不允许取，导致相应的能量不连续，即出现禁带；布洛赫波函数是波矢的周期性函数，周期为倒格子的基矢。32物理与光电工程学院2.3半导体中电子的运动导体、半导体、绝缘体的区别33物理与光电工程学院2.3.1半导体中电子的运动能带极值点附近电子对半导体的性质起决定作用.假如某种晶体在其k空间的某点取得能量极值为，那么能量极值附近的能量函数进行泰勒展开：0z0y0x0k,kkk,0kE＋－＋＝2022021xxkx0kkkkEkEE2z0zk2z22y0yk2y2kkkkkk00－＋－EE(2-31)1）能带极值点附近电子的能量函数34物理与光电工程学院2.3.1半导体中电子的运动所以：＝＋＝kEkEkE0＋＋2xk2x20kk21kE0E2zk2z22yk2y2kkkk00EE＋设能量极值点位于k0=0处，且以极值点的能量作为能量起点，即E0=0，则极值附近电子的能量函数可以写为：＋＝2xk2x2kk21kE0E2zk2z22yk2y2kkkk00EE＋yy0ykkk＝－zz0zkkk＝－xx0xkkk＝－因为：35物理与光电工程学院2.3.1半导体中电子的运动对比自由电子的能量分量形式：2z022y022x02kmkmkm21k＋＋