2连续型随机变量及其概率密度函数

第二章随机变量及其分布第一讲离散型随机变量及其分布第三讲连续型随机变量及其分布第二讲随机变量的分布函数第四讲随机变量函数的分布有关要点回顾1．离散型随机变量随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个，叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布律为1.,...,2,1,0kpk2.,11kkp（非负性）（归一性）其中在这个意义上，我们说对于离散型随机变量，如果知道了它的分布列，也就知道了该随机变量取值的概率规律.离散型随机变量由它的分布列唯一确定.2.连续型随机变量随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量.连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间，对连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述其概率分布.下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量—连续型随机变量的描述方法.第三讲连续型随机变量及其概率密度连续随机变量;密度函数及其性质;均匀、指数与正态分布设离散型随机变量X在［a,b］内取n个值:x1=a,x2,x3,x4,…,xn=b．X即小矩形的面积为Ｘ取对应点的概率小矩形宽度概率小矩形高x1=aPx2x3s1s2s3sn…….xn=bniisbXaP1}{＝折线下面积之和！X的概率直方图：(1)定义的引出若X为连续型随机变量，由于X在［a,b］内连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线).(xf而且：)(xfdxxfSbXaPba)(}{1)(}{dxxfXPXaP…….b)(xfdxxfSba)(由此推出连续型随机变量的定义P(A)=0A=；12)()(xxtdtftdtf简称为概率密度或密度.对于随机变量X的分布函数F(x),若存在非负可积函数f(x)，,)()(xtdtfxF使得对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，由定义称f(x)为X的概率密度函数，定义1(P40.定义)密度函数的基本特性：(1)f(x)0；)()()(FFtdtf=1-01；(2)(3)(4)(5)=0判定一个函数f(x)为某连续型随机变量的概率密度的充要条件独点概率非负性规范性可微性概率公式yOxy=f(x)面积为1x1x2;)(21xxtdtf1211)()()(xxxxtdtftdtftdtf若f(x)在点x处连续，则;)()(xfxF)(lim000xxXxPxxxxxxdxf00)(lim0P(X=x0)=0.P(aXb)=P(aXb)=P(aXb)=P(aXb),)(batdtf几乎不可能事件几乎必然事件P(B)=1B=.X取值于(x,x+x]的概率=其密度在此区间上的积分可积连续型的分布函数必连续一、连续随机变量及其分布密度P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)1o0)(xf2o1)(dxxff(x)xo面积为1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度的充要条件密度函数的几何意义()()baPaXbftdt＝即y=f(x)，y=a，y=b，x轴所围成的曲边梯形面积。密度函数曲线位于x轴上方(1)P{x1＜X≤x2}=P{x1≤X≤x2}=P{x1＜X＜x2}=P{x1≤X＜x2}=F(x2)－F(x1)=(2)()xxfxdx21点概为零的重要启示若A为不可能事件，则P(A)=0；然而P(A)=0时，A却不尽为不可能事件.连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关事件(X=c)并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的。如X为被测灯泡的寿命。若灯泡寿命都在1000小时以上，而P(X=1000)=0，但事件(X=1000)是一定会发生的，否则不会出现事件(X1000)，所以不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。同样：必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。.0}{aXP若X是连续型随机变量，{X=a}是不可能事件，则有{}0,PXa若是不可能事件}{aX.0}{aXP若X为离散型随机变量,注意{}Xa不能确定是不可能事件连续型离散型⑴分布函数F(x)的函数值表示随机变量X在右闭无穷区间(－∞,x]上的取值概率,即(){}FxPXx⑵只要函数F(x)是随机变量X的分布函数,那就必有()F1(),F0()Fx01不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数;连续变量的分布函数却是实轴上处处连续的函数.要点重申⑷“连续随机变量的点概为零”,即连续型随机变量X在其任一可取点处的取值概率恒等于零;但“离散随机变量的点概不尽为零”,因为后者在其任一可取之点处的取值概率肯定不为零.并且概率密度f(x)也满足所谓的归一性,也就是()fxdx1⑶只有连续型随机变量X才存在概率密度f(x),它与分布函数F(x)的相互关系是()(),xFxftdt()()dFxfxdx要点重申⑹连续变量的点概为零说明:不可能事件的概率为零;但概率为零的事件不尽为不可能事件.⑸连续随机变量X在任何区间上的取值概率与区间的开闭与否无关,它恒等于概率密度在该区间上的积分，即但离散随机变量X在区间上的取值概率与区间的开与闭有关:区间开时应去掉开点的点概;区间闭时应包括闭点的点概，例如P{x1＜X＜x2}＝()xxfxdx21P{x1≤X≤x2}=F(x2)－F(x1)＋P{X=x1}P{x1＜X≤x2}=F(x2)－F(x1)要点重申202~()230KxxXfxKxx其它例1设求常数K解()1,fxdx由性质解之得631K232021KxdxKxdx得xxXfxxx2602316~()23310，，，其它例2设连续型随机变量X具有概率密度求⑴常数A；⑵概率⑶分布函数()()xFx=ftdt||{}.111105xPXedx||()1xfxdxAedx解||(),xfxAex(),2AAA00xxAedxAedx.05A{};11PX10xedx11e().Fx||.05xtedt,.,.0050105xxxexe例3设连续随机变量X的概率密度解试求概率(1);(2).xexfx0.10.1,0()0,其它{}()PX110()fxdx10..xdxe011001.xe0110.xe0110e1(}){PX10022()fxdx2010..xdxe01201001.xe012010.xe010102ee12{}PX1020{}PX10}.2{},11{0},{)2(;C)1(.,0,33),9()(2XPXPXPxxCxfX求求常数其它具有概率密度随机变量设解:,d)()(11xxf由【练习】得dxxf)(1303|)39(2xxC302)9(2dxxC332)9(dxxCC36于是概率密度为即有.361C.,,),()(其它03393612xxxf033|)39(361xx,21)927(361}0{)2(XPdxx)9(361203dxxf0)(}11{XP}2{XP.271339181103xxdxx)9(3612210dxx)9(361232.27239361323xxdxxf11)(dxxf2)(【练习】设随机变量X具有概率密度.,043,2230,)(其它xxxkxxf(1)确定常数;k(2)求X的分布函数);(xF(3)求}.2/71{XP设随机变量X具有概率密度.,043,2230,)(其它xxxkxxf(1)确定常数;k【练习】(2)求的分布函数X);(xF(3)求}.2/71{XP解（1）由,1)(dxxf得解得,6/1k于是X的概率密度为,1224330dxxkxdx)(xf,6x,22x,030x43x其它.)(xF4,143,22630,60,03030xxdttdttxdttxxx,0,122x,4232xx,10x30x43x4x.（2）}2/71{XP2/73231242121xxx,4841或)1()2/7(}2/71{FFXP.48/41（3）例4设随机变量K的概率密度为试求方程有实根的概率.1,066k0,其它xKxK24420fk()解方程要有实根,则根的判别式≥0,即有()()()KKKK21616216210可见K2.K1或于是,所求的概率为{(1)(2)}PKK12()()fkdkfkdk62106dk4263⑵密度函数例5连续随机变量X的分布函数为解⑴F(x)显然应是x的连续函数。于是，由函数在0和1处的连续性即得，A=B，B=1－A，可见A=B=1/2；⑶概率P{X＞1/3}=Aex，x＜0F(x)=B，0≤x＜11－Ae－(x－1)，x≥1试求⑴A、B的值；⑵X的密度函数；⑶P{X＞1/3}。1－P{X≤1/3}=1－F(1/3)=1－1/2=1/2.ex/2，x＜00，0＜x＜1e－(x－1)/2，x＞1)()(xFxf.)3(};2{)2(;,)1(:.,1,,arcsin,,0)(的概率密度随机变量的值系数求的分布函数为设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX【练习】),(lim)(xFaFax故有解(1)因为X是连续型随机变量,,)(lim)(xFaFax,)(连续所以xFaaBAarcsinaaBAarcsin即BA2,0BA2,1.1B.,1,,arcsin121,,0)(axaxaaxaxxF所以,21A解之得)2(aF0)2arcsin(π121aa6ππ121}2{)2(aXaP)(aF.32)()(xFxf的概率密度为随机变量X)3(.,0,,122其它axaxa=例6某药品的有效期X以天计算，其概率密度为解⑴分布函数20000/(x＋100)3，x＞0f(x)=0，其它试求⑴X的分布函数；⑵有效期至少为200天的概率。0,0xdtx0,0x210000,0(100)0xxt()()xFxftdt3020000,0(100)xdtxt==0,0x2100001,0(100)xx⑵有效期至少为200天的概率P{X≥200}=1－P{X＜200}=1－P{X≤200}=1－F(200)=1/9.[]()21000011200100分布函数法例6某药品的有效期X以天计算，其概率密度为20000/(x＋100)3，x＞0f(x)=0，其它试求⑴X的分布函数；⑵有效期至少为200天的概率。⑵有效期至少为200天的概率==1/9.210000300密度函数法320020000(100)dxxP{X≥200}=()x210000200100例6某药品的有效期X以天计算，其概率密度为20000/(x＋1