大学高等数学 6-1定积分的元素法

主讲老师：高波联系方式：[e-mail]8541301313880102981注意事项：1.作业使用标准练习册（学子书店）；2.《学习指导书》（学子书店）；3.参考书（图书馆）。回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(一、问题的提出曲边梯形的特征：上边：由连续曲线)(xfy；下边：x轴；侧边：直线ax、bx；所围成。若用A表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfdA面积元素当所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；（2）U对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量iU的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量U元素法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）在],[ba上任意取一点x,并任意取小区间记为],[dxxx或],[xdxx，dx充分小，在小区间上所求的量可认为是均匀的，则dxxfdU)(称为量U的微元（元素）；3）以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得积分表达式:babadxxfdUU)(.应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；质量；力做功；水压力；引力和平均值等．微元法的实质:“和式”的极限.xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(曲边梯形的面积badxxfxfA)]()([12二、平面面积：直角坐标系情形xxxxx例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素dxxxdA)(2选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx例2计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[ydyyydA242.1842dAAxy224xy恰当选择积分变量，简化计算。xoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长||11niiiMM的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长.三、平面曲线弧长的概念设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxdxx取积分变量为x，在],[ba上任取小区间],[dxxx，以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长.12dxysba直角坐标情形),(yx),(yyxx例3计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323abab旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台四、旋转体的体积和表面积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfy取积分变量为x，],[bax取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的表面积为面积元素，22()2()1['()]dAfxdsfxfxdxxdxxxyo旋转体的表面积为22()1['()]baAfxfxdx)(xfyy例4连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．r解hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间],[dxxx，xo直线方程为OP以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为dxxhrdV2圆锥体的体积dxxhrVh20hxhr03223.32hryrhPxo类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyy2)]([dcV22()1['()]dcAyydy例5求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱与0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.解绕x轴旋转的旋转体体积dxxyVax)(2202022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532aa2a)(xy绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.dtyxVay)(2202dtyxa)(2201oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633axoab五、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积例6一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.RRxyo解取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323R曲边扇形的面积：由射线、及曲线)(r围成，)(在],[上连续，且0)(．xodd面积元素ddA2)]([21曲边扇形的面积.)]([212dA极坐标系情形)(rxo)(2r)(1rdA)]()([212122设由曲线)(1r和)(2r及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，)(在],[上连续，且0)(．例1求双纽线2cos22a所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAdaA2cos214402.2axy2cos22a1A例2求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a.解dadA22)cos1(21利用对称性知.232add2)cos1(02212aAd)coscos21(202a2sin41sin2232a0设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxdxx以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长.12dxysba弧长：直角坐标情形曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长.)()(22dttts弧长：参数方程情形例3求星形线323232ayx)0(a的全长.解星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14ssdtyx20224dttta20cossin34.6aaaoyx曲线弧为)()(rr其中)(在],[上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds,)()(22drr弧长.)()(22drrs弧长：极坐标情形例4求极坐标系下曲线33sinar的长.)0(a解drrs)()(22313cos3sin32ar,3cos3sin2a.23adaa242623cos3sin3sin30d23sin30a0()3例5求阿基米德螺线ar)0(a上相应于从0到2的弧长.解,ardrrs)()(22.)412ln(412222a20daa22220ad12例6求椭圆12222byax的面积.解椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为sFW.如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.一、变力沿直线所作的功例1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为2rqkF（k是常数），当这个单位正电荷在电场中从ar处沿r轴移动到br处时，计算电场力F对它所作的功．解取r为积分变量，roqab1r],,[bardrr取任一小区间],[drrr,功元素,2drrkqdw所求功为drrkqwba2barkq1.11bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa2arkq1.akq点击图片任意处播放\暂停例2一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？解建立坐标系如图xoxdxx取x为积分变量，]5,0[x5取任一小区间],[dxxx,xoxdxx5这一薄层水的重力为dx238.9功元素为,2.88dxxdwdxxw2.885050222.88x3462(千焦)．解设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf第一次锤击时所作的功为101)(dxxfw,2k.)(0hhdxxfw例3用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？n设次击入的总深度为厘米hn次锤击所作的总功为nhhkxdxw0,22kh依题意知，每次锤击所作的功相等．1nwwh22kh,2kn,nh.1nn次击入的总深