振动与波习题

一、谐振子1、运动学特征：)1()cos()2cos()(tAtTAtxA：振幅T:周期T2：圆频率:初相,t＝0时刻的位相。)(t:相位，它是反映质点在t时刻振动状态的物理量。振动A、φ由初始条件决定。0022020xvtgvxA由（1）：)2()tsin(Adtdxv(3))tcos(Adtdva2由（3）：xa22、动力学特征0xdtxd222（弹簧振子：）mk23、能量特征221mvEk)(sin21)(sin210220222tkAtAm221kxEp)t(coskA02221221kAEEEpk二、描述谐振动的物理量1、振幅A：对一定的谐振动系统是确定的，不依赖于时间零点的选取。2、周期、频率和圆频率：它们与谐振动系统本身的固有性质有关。例：弹簧振子：mk21km2Tmk3、相位和初相)(t:相位，反映质点在t时刻振动状态（位移、速度）:初相,t＝0时刻的振动状态（位移、速度）0022020xvtgvxAA并不唯一只能由上式决定。22222020vxvxA两同频率的谐振动在任意时刻的相位差：反相同相和振动振动落后超前比振动振动)1,0k()1k2()1,0k(k200121212三、描述谐振动的方法1、函数表示法2、图线表示法3、旋转矢量法★四、谐振动的合成同方向、同频率的谐振动的合成：2211221112212221cosAcosAsinAsinAtgcos(AA2AAA例1：一质点作简谐振动，=4rad/s,振幅A=2cm.当t=0时,质点位于x=1cm处,并且向x轴正方向运动,求振动表达式.解:用矢量图法求解作半径为2cm的圆,由t=0时,质点位于x=1cm处,)354cos(23532tx并且向x轴正方向运动得,初始时刻旋转矢量端点位于图中B处,故初相为AB12Ox例2：一质点作周期为T的简谐振动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为A）T/2（B）T/4C)T/8（D）T/12解:用矢量图法求解A/2AOM=t=/6=2/Tt=T/12Nx例3.一物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4s，当t=0时，位移为－12cm且向x轴负方向运动，求1)简谐振动方程2)物体由起始位置运动到x=0处所需的最短时间.解1)A=0.24m,T=4s,=2/T=/2)m()t2cos(24.0)tcos(Ax)m()32t2cos(24.0x用旋转矢量法求作半径为A=24cm的参考圆对应于x＝－12cm、V0＜0的振动状态为图中a，相应的初相为＝2/3av0v0-0.24-0.120x由于求的是从a状态运动到x=0处所需的最小时间，所以末状态应选b;解2)如图所示，对应于x=0，在图中有c、b两个可能的状态.由图可得，初、末两状态位相差为△=5π/6，故tmin＝△/ω=5/3（s).a-0.240xbc2)物体由起始位置运动到x=0处所需的最短时间.例4一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的A）1/4B）3/4C）1/16D）15/16解：总总总E1615EEEE161kA16121kx21EA41xpk22p2.一质点作简谐振动，速度的最大值Vm=5cm/s,振幅A=2cm。若令速度具有正最大值的那一时刻为t=0,求振动表达式。cmtx)2325cos(2解：用矢量图法求解O255Avm)cos(2tx3.一简谐振动的振动曲线如图，求此振动的周期。xt5-A/2-A解：Ot=0t=5=/3+/2=5/6=t=5=/6=2/TT=12s4.一质点作简谐振动，其振动方程为（SI）试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到x=-0.12m,v0的状态所经过的最短时间。)31t21cos(24.0xtO31-0.120.24)(323stt解：t=08.一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为：)314cos(10521tx（SI）（SI）)614sin(10322tx画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程.)32t4cos(103)2161t4cos(103)61t4sin(103x22222O)314cos(10521tx1)314cos(102221txxx10.在竖直平面内半径为R的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道最低处，然后轻碰一下此物体，使其沿轨道作来回小幅度运动，试证：1）此物体作简谐振动2）此简谐振动的周期为gR2TRRmgN22ttdtdmRmRmasinmgF222RgsinRgdtdgR22TRg一、描述波动的物理量2、波长3、波速4、波速u与l、T的关系：Tul二、平面简谐波波动方程坐标原点振动方程：1、周期和频率（由波源决定，与介质无关）波动)cos(tAy])(2cos[])(cos[lxTtAuxtAy波沿x轴负向传播：])(2cos[])(cos[lxTtAuxtAy波沿x轴正向传播：三、描述波动的方法1、数学表示法：（波动方程）★2、几何表示法：波线、波面、波前3、图线表示法：y～t、y～x四、波的干涉1、相干条件：频率相同、振动方向相同、恒定位相差。2、干涉加强、减弱条件：]2cos[1111lrtAy]2cos[2222lrtAycos2212221AAAAA)2(1212lrrll2rr2,1212时当2121AAA2)1k2(AAAk减弱加强ll例题1.图示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图,波的振幅为0.2m,周期为4s,波长为1m,求1）波动方程2）图中P点处质点的振动方程XyoAP传播方向XyoA传播方向解1）设波动方程为A=0.2m,T=4s,l=1m代入，得：t=0s)x2t2cos(2.0y旋转矢量图法确定)2cos(lxtAyy2旋转矢量图法y)x2t2cos(2.0y)m)(2x2t2cos(2.0yXoA传播方向O点振动方程为)t2cos(2.0yt=0时，y=0，v0XyoAP传播方向2)P点的振动方程x=0.5代入)m)(2t2cos(2.0)2t2cos(2.0y)222cos(2.0xty得：例题2.一平面简谐波以波速u=0.5m/s沿x轴负方向传播,t=2s时刻的波形如图所示,求波动方程.x(m)y(m)o0.512ux(m)y(m)o0.512u由图可得:l=2m,A=0.5m=2=2u/l=/2)xt2cos(5.0)x2t2cos(5.0yl设波动方程为:待定)x2tcos(Ayl解：)xt2cos(5.0y由t=2,x=0,y=0得:2秒时刻O点的相位是由v0得:x(m)y(m)o0.512ut=2s)m)(2xt2cos(5.0y波动方程为:的确定223yot=21.图为沿x轴正方向传播的平面简谐波在t=0时刻的波形。若波动方程以余弦函数表示，求O点处质点振动的初相位。解:yot=02t=0,x=0,y=0,dy/dt0xyo2.频率为100Hz,传播速率为300m/s的平面简谐波，波线上两点振动的位相差为/3，则此两点相距A）2mB)2.19mC)0.5mD）28.6m3x2l解:)m(5.0u616xl在时刻与两点处质点速度之比是A)1B)-1C)3D)1/33.一平面简谐波的波动方程为解:4/2lx4/31lx)/(2coslxtAy/1t)/xt(2sinA2dtdyVl)/x1(2sinA21tl1)2/3sin()2/sin()/x1(2sin)/x1(2sinVV2121ll4.当一平面简谐机械波在弹性媒体中传播时下述结论哪个正确？A）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒.B）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但两者相位不相同.D）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大.C）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者数值不同.5.如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点P的运动方向向下，求该波的波动方程.X(m)Y(m)o-APA22100解:=2=500l=200m轴传播XPX(m)Y(m)o-APA22100)x2tcos(Ayl)100xt500cos(Ay设波动方程为yo)SI)(4100xt500cos(Ay40v*6.如图所示，原点O是波源，振动方向垂直纸面，波长为l,AB为波的反射平面，反射时无半波损失。O点位于A点的正上方，AO=h,OX轴平行于AB。求OX轴上干涉加强点的坐标(限于x0)。OXhABlkxhx22)2(2)2....2,1(2)(422lllhkkkhx解:7.一平面简谐波沿x轴负方向传播,t时刻的波形如图所示,则t+T/4时刻x轴上的1，2，3三点的振动位移分别是（A）A，0，-A；（B）-A，0，A；（C）0，A，0；（D）0，-A，0。xyoA13u-A2左移T/4B1S2S4/3l8、1S如图，和是两个相干波源，相距，若两波在、连线上传播，振幅均为A，已知在该连线上左侧各点的合成波的强度为其中一个波的强度的4倍，则两个波源应满足的相干条件是2S4/3l2S1S1S2/312超前比SS相长思路：左侧各点加强，是1S相长干涉,……lkrr2)2(12129、沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程为]2cos[1lxtAy波在x=L处（B点）发生反射，反射点固定。则反射波的波动方程2yxBoyL思路：设lx22答案：)2tcos(2lxAy)42tcos(2LxAyll1S2S4/3l相长相消思路：10、1S和是波长均为的两个相干波源，相距，的位相比超前。若两波单独传播时，强度均为，则在、连线上外侧和外侧各点，合成波的强度分别是2S4/3ll2S1S2/0I1S2S2S1S（A）40I，40I；（B）0，0；（C）0，4；0I（D）4，0。0IsTT4221)4521sin(06.0ty5m处滞后2.5s,其位相滞后5/411、已知波源振动方程为)(21sin06.0SIty波速为2m/s,则离波源5m处的振动方程为：思路：则)4521sin(06.0ty