振动与波动1-简谐振动

2020/1/251第六章机械振动第六章机械振动什么是振动？一个物理量（如位置、电量、电流、电压、温度……）在某一确定值附近随时间作周期性的变化，则该物理量的运动形式称为振动。机械振动电磁振动微观振动振动分类振动受迫振动自由振动共振阻尼自由振动无阻尼自由振动(简谐振动）无阻尼自由谐振动2020/1/252第六章机械振动§6-1简谐振动§6-2谐振动的合成§6-3阻尼振动和受迫振动简介第六章机械振动2020/1/253第六章机械振动一、简谐振动的定义1用动力学方程定义物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化，这样的振动称为简谐振动，简称谐振动。§6-1简谐振动simpleharmonicvibration(S.H.V.)kmx0xkx22txmkxdd022xmktxddmk20222xtxdd2用运动学方程定义tAxcossinxAt或二者关系？——振动方程2020/1/254第六章机械振动说明（1）上述方程对于非机械振动也成立。例电磁震荡电路CLtiLCqddq0122qLCtqddtqidd（2）从运动学方程tAxcossinAt2cosaAt（3）简谐振动的特点等幅性周期性)()(Ttxtx物体所受的力与位移成正比而反向cos2At2cosAt2020/1/255第六章机械振动如图所示,设刚体对轴的转动惯量为J.设t=0时摆角向右最大为0.求振动周期和振动方程.解sin,5时22dg0dmhtJJhmg2gJTmh单摆g2lT振动方程tωcos0例复摆（物理摆）的振动22sinmglJtdd22sin0mgltJdd2020/1/256第六章机械振动2mglJ12πmglJ2πJTmgl振动的物理量cosmmgltJ固有圆频率角位移振动表达式2220xxtdd220mgltJdd对比思考:1)证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动并求出振动的频率2）若令一单摆的频率与本例中的复摆的频率相等,单摆的摆长l应为多少？（此摆长l叫复摆的等值单摆长）2020/1/257第六章机械振动1.x——位移二、振动参量tAxcos广义上，指振动的物理量2.A——振幅最大位移，恒为正，表征系统的能量cost≤1x≤A——振动的强弱3.Tνω——周期和频率1T22T——固有周期和频率•Tων的大小由振动系统本身性质决定4.（ωt＋）——t时刻的相位（位相）（1）数学上，相位是一个角度，物理上，相位是描写振动状态的一个参量。2020/1/258第六章机械振动（2）用相位描述振动状态更能深刻反映物体运动的周期性。（3）——初相，（取决于时间零点的选择）txOA-A=2cos()xAtAsin()0AtxOAA2t0xA32t0xA0t2020/1/259第六章机械振动ω由振动系统本身决定A，由初始条件决定弹簧振子：km单摆：gl三、谐振动的描述1.解析法tAxcos振动三要素：振幅、周期和相位)cos()(tωAtxcos0Ax)sin(tωAωvsin0Aωv22002Axv100tan()xv2020/1/2510第六章机械振动例一弹簧振子（m，k），已知,kmm,2cA当t＝0时，0m,1cx00,试写出振动方程。解方程的形式一定为：cos()xAt由初始条件：0cos1xA0sin0A①②33或－3－振动方程：2cos()3kxtm由①可得：再由②可得：2020/1/2511第六章机械振动例一轻弹簧（k），下端挂一重物m，用手拉物向下至x处，然后无初速度释放。试写出振动方程。解原点取在原长建立坐标O'x如图,'Oxx分析小球受力，mgkx可得：22ddxmgkxmt22ddxkxgtm（不是谐振动）原点取在平衡位置建立Ox轴oxx0()kxx202d()dxmgkxxmt22d0dxkxtmcos()xAt2020/1/2512第六章机械振动推论：若振动系统除受弹性力外，还受一恒力作用，则系统的振动规律不变，只是改变了平衡位置，而坐标原点取在新的平衡位置上。kmkmkmkm2mTk2020/1/2513第六章机械振动2.旋转矢量法用匀速圆周运动几何地描述SHV规定AA端点在x轴上的投影式逆时针转以角速度t+oxtt=0AA··)cos()(tAtx谐振动旋转矢量的大小A——振幅旋转矢量转动角速度ω——谐振动的角频率旋转矢量和参考方向的夹角——相位2Tt2020/1/2514第六章机械振动例质点在x轴上作谐振动，从A→B→O→C→D，请指出各点时的相位，并说明相应的状态。OADCBx解0A3B2O23CD例一弹簧振子，已知A、ω，试写出振动方程。(1)开始时物体运动到正向最大位移处，(2)开始时物体在A/2处,向x正方向运动，解oxA0cos()xAtoxA535cos()3xAt2020/1/2515第六章机械振动例一质点在x轴上作谐振动，T为已知，问：质点从A→A/2和从A/2→0所需时间各为多少？解用相位分析问题oxA1A→A/2：相位变化从0→π/3，13由112Tt16TtA/2→0：相位变化从π/3→π/2，262由222Tt212Tt2020/1/2516第六章机械振动以振动平衡位置为坐标原点，振动方向为纵轴，t为横轴的x—t关系曲线。2cosxAtT3.振动曲线oxtTAx0旋转矢量振动方程振动曲线2020/1/2517第六章机械振动o(cm)x(s)t13323解例已知振动曲线，求振动方程。x123cmA2sT2sT13cos()2xt223cos()xt由振动曲线1，12t＝0时，x0＝0，υ00由振动曲线2，t＝0时，x0＝－3，υ0＝0