传热学V4-第四章-导热数值解法

第四章热传导问题的数值解法ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransfer导热问题研究的目的热流量温度分布强化/减弱导热的措施导热问题研究的基本方法理论分析法数值计算法实验方法有限差分法分子动力学模拟法边界元法有限元法有限差分法的基本思想：用有限小的差分、差商近似代替无限小的微分、微商，用代数形式的差分方程近似代替微分方程，并通过求解差分方程求取有限时刻物体有限节点上的温度值。ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransfer数值计算方法的基本思想将时间、空间坐标系中连续的物理量场，用有限离散点上数值的集合来代替，并通过求解离散点物理量组成的代数方程来求解，所得的解称为数值解。126345数值计算方法的优点：多维变物性复杂几何形状复杂边界ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH0tyf3thf2thf1thx二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题传热学HeatTransferStep-1:控制方程及边界条件ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题传热学HeatTransferStep-2:计算域离散化xyxynm(m,n)MN基本概念：网格线节点（内节点、边界节点）控制容积界面线步长均匀/非均匀网格ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题传热学HeatTransferStep-3:建立节点离散（代数）方程基本方法：Taylor（泰勒）级数展开法控制容积平衡法(热平衡法)内节点边界节点平直边界节点边界内节点边界外节点ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH!3!23,332,22,,,1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm!3!23,332,22,,,1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm传热学HeatTransfer内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法）1.对相邻节点写出温度t对内节点(m,n)的泰勒级数展开式x:(m,n)的相邻节点为(m+1,n),(m-1,n)y:(m,n)的相邻节点为(m,n+1),(m,n-1)X方向ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransfer内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法）2.整理得到二阶导数的中心差分)(222,1,,1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,,1,,22yoytttytnmnmnmnm截断误差：级数余项中的Δx的最低阶数为2即中心差分格式具有二阶精度。3.由控制方程得到内节点(m,n)的离散代数方程中心差分ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransfer内节点离散方程的推导（热平衡法）基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。从所有方向流入控制体的总热量＋控制体内热源生成热＝控制体内能的增量稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热量＝0ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransfer内节点离散方程的推导（热平衡法）(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)对控制体每个界面线（图中虚线）应用傅立叶导热定律。ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransferxttynmnmw,,1xttynmnme,,1yttxnmnmn,1,yttxnmnms,1,yxShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransferStep-3:建立节点离散（代数）方程基本方法：Taylor（泰勒）级数展开法控制容积平衡法(热平衡法)内节点边界节点平直边界节点边界内节点边界外节点为什么要建立边界节点的离散方程？一类边界条件：方程组封闭，可直接求解二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用Φ表示内热源。ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH2,1,1,,1,224xΦttqxttnmnmnmwnmnm0222,,1,,1,,,1yxΦyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx边界节点离散方程的推导（热平衡法）：传热学HeatTransfer二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量＋控制体内热源生成热＝0平直边界节点ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH边界节点离散方程的推导（热平衡法）：传热学HeatTransfer二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量＋控制体内热源生成热＝0边界外角点0222222,,1,,,1yxΦyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyx2222,1,,1,xΦqxtttnmwnmnmnmShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH边界节点离散方程的推导（热平衡法）：传热学HeatTransfer二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量＋控制体内热源生成热＝0边界内角点yx0432222,,1,,1,,,1,,1yxΦqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnm)22322(6122,11,1,,1,wnmnmnmnmnmqxxtttttShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH边界节点离散方程的两个具体问题：传热学HeatTransfer边界热流密度的具体处理方法绝热边界第二类边界第三类边界constqw0wq)(,nmfwtthq不规则边界的处理方法多段折线模拟不规则边界，网格越密越接近实际坐标变换：保角变换ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH建立节点离散方程的泰勒级数法与热平衡法的比较：泰勒级数法属于纯数学方法，而热平衡法基于能量守恒原理，物理概念明确，且推导过程简捷；泰勒级数法对于建立边界节点的离散方程较困难；当导热物体物性或内热源不均匀时，泰勒级数法不适用，而热平衡法能够方便处理。传热学HeatTransferStep-4:设置温度场的迭代初值ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYHnnnnnnnnnnbtatatabtatatabtatata..............................................................22112222212111212111n个未知节点温度，n个代数方程式：Step-5:节点离散（代数）方程的求解传热学HeatTransfer直接解法迭代解法直接解法：矩阵求逆、高斯消元法等缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的导热系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等先对要计算的场作出假设（给定初始值）、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。Step-5:节点离散（代数）方程的求解传热学HeatTransferGauss-Seidel迭代法：每次迭代时总是使用节点温度的最新值ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH在计算后面的节点温度时应采用最新值：根据第k次迭代的数值：(k)n(k)2(k)1....ttt、)(1)(1)(212)(111)1(1......kknnkkkbtatatat)()()1(11)1(22)1(11)1()(3)(3)1(232)1(131)1(3)(2)(2)(222)1(121)1(2..............................................................................knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatat传热学HeatTransferStep-5:节点离散（代数）方程的求解Gauss-Seidel迭代法ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransferStep-5:节点离散（代数）方程的求解Gauss-Seidel迭代法判断迭代是否收敛的准则：)(max)()1()()()1()()1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttororε为允许的偏差，一般取10-3～10-6(k)maxt为k次迭代得到的计算域温度最大值计算域温度存在近于0的值时采用ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransferStep-5:节点离散（代数）方程的求解Gauss-Seidel迭代法如何判断数值解的准确性？三个检验标准：实验验证、精确分析解验证、特定问题的基准解验证数值计算中偏差ε总是存在的，增加节点数目可以减小误差。计算网格独立性。如何避免迭代发散？必须满足对角占优原则：每个迭代变量的系数总大于/等于该式中其它变量系数绝对值的代数和(参考教材例题4-1)Step-6:解的分析ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransfer4-4非稳态导热问题的数值解法非稳态项稳态项（扩散项）源项由于非稳态项的存在，除了对空间坐标离散外，还需要对时间坐标进行离散处理。稳态扩散项的离散格式：中心差分格式非稳态项的离散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransfertfhtfhxt0平板加热问题第三类边界条件一维非稳态导热微分方程及定解条件：xtat220tt00x0xtxtthxtf)(边界条件初始条件4-4非稳态导热问题的数值解法ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransfer4-4非稳态导热问题的数值解法向前差分格式向后差分格式中心差分格式非稳态项的离散格式的构造：泰勒级数展开法Δx为空间步长Δτ为时间步长偏微分方程22xtat离散化代数方程非稳态项向前差分扩散项中心差分点（n,i）ShanghaiJiaoTongUniversitySJTU-OYH传热学HeatTransfer4-4非稳态导热问题的数值解法非稳态项的离散格式的构造：热平衡法Edxxx