5-第五章 留数定理

第五章留数定理§1留数定理§2留数在定积分计算上的应用（一）§3留数在定积分计算上的应用（二）学习要求1.掌握留数的概念和留数定理。2.熟练掌握留数的计算方法；能熟练利用留数定理求沿封闭曲线积分；掌握利用留数定理计算定积分（主要是三种类型）的方法。考核知识点1.留数的定义。2.可去奇点留数的计算。3.本性奇点留数的计算。4.极点留数的计算。5.留数定理6.利用留数计算定积分已讲：一个解析函数与在它的解析区域内的各处的函数值有很强的内在联系，突出表现在柯西积分公式及其推论：00()()2cfzdzfzizz()010!()()(1,2,...)2()nncnfzfzdznizz本章主要讨论这种关系的另一种表现形式：解析函数的积分值与函数的奇点的关系。留数定理：复变函数的积分理论和级数理论的相结合的产物。如果函数f(z)在z0的邻域内解析,根据柯西积分定理.0d)(CzzfCzzfd)(如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内，包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分一般就不等于零。思考：积分等于多少?§1留数定理结论：从上面的讨论可知,积分的计算可转化为求被积函数的罗朗展开式中z-z0的负一次幂项的系数c1。Czzficd)(211或12d)(cizzfC[思路一]将f(z)在此邻域内展开为罗朗级数f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...后,两端沿C逐项积分,右端各项积分除留下c-1(z-z0)-1的一项等于2ic-1外，其余各项积分都等于零，所以.π2d)(1iczzfC若令n=-1,得Cnnzzzzficd)()(π2110[思路二]由罗朗级数系数公式为函数f(z)在z0的留数(Residue)，记作Res[f(z),z0]。一、留数的定义定义若f(z)在去心邻域内解析，z0是f(z)的孤立奇点，C是内包围z0的任意一条正向简单闭曲线，定义积分Rzz00Rzz00Czzfid)(21100]),(Res[d)(21]),(Res[czzfzzfizzfC即留数定理：如果函数f(z)在一条正向简单闭曲线C上连续，在C的内部除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析。则nkkCzzfizzf1]),(Res[π2d)(二、留数定理[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据多连通域的柯西积分定理有nCCCCzzfzzfzzfzzfd)(d)(d)(d)(21根据留数的定义，有),,2,1(]),(Res[d)(π21nkzzfzzfikCknkkCzzfizzf1].),(Res[π2d)(即讨论问题：柯西积分定理、柯西积分公式与留数定理的关系如何？意义：把计算沿路径积分的整体问题化为计算各孤立奇点留数的局部问题。nkkCzzfizzf1]),(Res[π2d)(.0d)(Czzf00()()2cfzdzfzizz2、求罗朗级数中c1(zz0)1项的系数c1。三、留数的计算1、留数只对孤立奇点而言才有意义。2）如果z0是f(z)本性奇点,将f(z)在其z0的去心邻域中展开为罗朗级数，求c1;如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利。1）如z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0;3）如果z0是f(z)的极点,则可以利用以下的规则：（极点留数的计算规则）)()(lim]),(Res[000zfzzzzfzz)]()[(ddlim)!1(1]),(Res[01100zfzzzmzzfmmmzz规则2如果z0为f(z)的m级极点，则规则1如果z0为f(z)的一级极点,则规则3设,P(z)及Q(z)在z0都解析,如果P(z0)0,Q(z0)=0,Q′(z0)0,则z0为f(z)的一级极点,且()()()PzfzQz000()Res[(),]()PzfzzQz注意规则3的应用条件123、奇点留数计算公式总结：奇点z0的类型m阶极点本性奇点一阶极点可去奇点普遍公式例2:计算122111112!2!zzezzzz011!(1)!nnnzz=0是本性奇点201cos1lim2zzz0]0,Res[1zze01)!1(!1]0,Res[nzznne例1:]0,cos1Res[2zz解.z=i与z=-i为的一阶极点,故21()1fzz11()lim()(),2ziziziResfzzifzzii1(),2ziResfzi222112,,0.111zizizdzdzdzzzz从而222112,,.111zizizdzdzdzzzz例3.计算例4.计算31cos.zzdzz解以z=0为其三阶极点,故3cos()zfzz232000111()lim()limcos.2!2!2zzzdResfzzfzzdz31cos12.2zzdziiz由留数定理得例5.不讲计算31sin.(1)zzzzdze3sin()(1)zzzfze解在单位圆周|z|=1内,以z=0为其孤立奇点,我们应用罗朗展式求为此注意30sin(1)zzzzRese3223333213!sin3!,(1)12!2!zzzzzzzzezzzz13sin1.(1)zzzaez30sin1,(1)zzzzRese31sin2(1)2.(1)zzzzdziie由此即得故后面那个因式在z=0解析,且显然可以展为常数项为1的幂级数因此在z=0的无心领域内有11,az例6计算积分21zCzedzz,C为正向圆周|z|=2.2()1zzefzz22{Res[(),1]Res[(),1]}1zCzedzifzfzz[解]由于有两个一级极点+1,1,而这两个极点都在圆周|z|=2内,所以由规则1,得211121112eeeRes[(),1]lim(1)lim112eeeRes[(),1]lim(1)lim.112eeed2π()2πch1122zzzzzzzzzCzzfzzzzzzfzzzzzziiz因此我们也可以用规则III来求留数：.2e2e]1),(Res[;2e2e]1),(Res[111||zzzzzzzfzzzf这比用规则1要简单些，但要注意应用的条件。例7计算积分Czzzd14,C为正向圆周|z|=2.0)41414141(π2d1,414)()(III,423izzzzzzzQzPC故由规则]}),(Res[]),(Res[]1),(Res[]1),({Res[π2d14izfizfzfzfizzzC4()1zfzz[解]被积函数有四个一级极点1,i都在圆周|z|=2内,所以.例8计算积分2(1)zCedzzz,C为正向圆周|z|=2..0)1(limeddlim)1(e)1(ddlim)!12(1]1),(Res[211221zzezzzzzzzfzzzzzz.π2)01(π2]}1),(Res[]0),({Res[π2d)1(e2iizfzfizzzCz所以[解]z=0为被积函数的一级极点,z=1为二级极点,而.1)1(lim)1(lim]0),(Res[2020zezzezzfzzzz[方法一]、首先应定出极点z=0的级数。由于0000(0)(sin)|0,(0)(1cos)|0,(0)sin|0,(0)cos|10.zzzzPzzPzPzPz因此z=0是zsinz的三级零点，也就是f(z)的三级极点。6sin()zzfzz例9：计算在z=0处的留数.应用公式得由此可见,二阶导数的计算过程将十分繁杂。2362602230sin1sinRe,0lim(31)!1sinlim.2!zzzzdzzszzdzzdzzdzz!51[方法二]、但把m取得比实际的级数高反而使计算方便。尽管z=0是函数6sinzzz的三级极点,如果认为是六级极点，计算在z=0处的留数,而更加简便。5665600sin1sinRes,0lim(61)!11lim(cos).5!5!zzzzdzzzzdzzz如果函数f(z)的极点z0的级数不是m,它的实际级数要比m低,这时表达式10101100()()()()mmmmfzczzczzczzc的系数cm，cm+1，…中可能有一个或几个等于零,显然规则2的公式仍然有效。一般说来,在应用规则2时,为了计算方便不要将m取得比实际的级数高。注意：在应用规则2时，为了计算方便，可以将m取得比实际的级数高。[方法三]用洛朗展开式求c1就比较方便，因为35663sin1113!5!11.3!5!zzzzzzzzzz所以16sin1Res,05!zzcz考虑：多值函数的留数计算。1.定义：设函数f(z)在圆环域R|z|内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分Czzfid)(π21Czzfizfd)(21]),(Res[称其为f(z)在点的留数，记作这里积分路径的方向是顺时针方向，这个方向很自然地可以看作是围绕无穷远点的正向。四、无穷远点的留数及计算方法将f(z)在R|z|+∞内的罗朗展式为nnnnzczcczczczf101)(CnnnCczzcizzfizf1d][21d)(21]),(Res[则即f(z)在点的留数等于函数f(z)在点的罗朗级数中z-1项的系数c-1的变号。注意：有限可去奇点的留数为0，z=∞既便是f(z)的可去奇点，f(z)在z=∞的留数也未必是0，为什么？方法1如果f(z)在的洛朗展开式为zRnnnzCzf)(则有Res[f(z),∞]=-C-12、无穷远点留数的计算方法方法2z=∞是f(z)的可去奇点，并且则f(z)在z=∞的留数0)(limzfz)(lim1zzfcz方法30,1)1(Res),(Res2zzfzf此结论请同学们课后自行证明。例设f(z)=z5/(1+z6),求z=∞的留数5601111()1111nnnzfzzzzzz11111nnnzz解：（方法一）由于f(z)在1|z|+内解析，所以z=∞是可去奇点，z=∞的留数为Res[f(z),∞]=-C-1=-1（0）（方法二）z=∞是可去奇点，并且0)(limzfz则Res[f(z),∞])0(11lim)(lim661zzzzfczz[定理]：如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零..0d)(π21d)(π21]),(Res[]),(Res[1CCnkkzzfizzfizzfzf[证]