解析几何 第三章 坐标变换与二次曲线的分类

第三章坐标变换与二次曲线的分类本章要解决的两个问题：一、给定图形，如何选择坐标系使其方程最简单？二、在不同坐标系中，图形的方程之间有什么关系？2引入在三维空间中，任意三个不共面的向量都可取作空间的一组坐标向量。空间中任一向量在某一组坐标向量下的坐标是唯一确定的，但是在不同坐标系中的坐标一般是不同的。因此在处理一些问题时，如何选择适当的坐标系使得所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题。§1仿射坐标变换的一般理论为此我们首先要知道同一向量在不同坐标系中的坐标之间有什么关系，即随着坐标系的改变，向量的坐标是如何变化的。31.1过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式则借用矩阵记号和形式上的矩阵乘法将上式写为：1212()nnkkk1、设为空间中的一组向量，若12,,,n1122nnkkk其中是实数,12,,,nkkk一、代数准备：向量的形式写法4则利用形式写法可记为：1112121222121212()()mmnnnnnmaaaaaaaaa11112121212122221122nnnnmmmnmnaaaaaaaaa2、推广:设和为两组向量，若12,,,m12,,,n51)11112222121212()()()nnnnnnnklklklklklkl注：在形式写法下有下列运算规律:62)矩阵，则12,RnmAA1212()()()()nnABAB121212()()nnAA1221()()nAA,RRnmmlAB3)矩阵，则7在空间中取定两个仿射标架和123[;,,]IOeee123[;,,]IOeee，若111121231321212223233131232333ecececeecececeececece①即二、基变换111213123123212223313233()()ccceeeeeecccccc②则称①或②为从到的基变换公式。123,,eee123,,eee8称矩阵111213212223313233cccCcccccc为从坐标系到坐标系的过渡矩阵。II注：过渡矩阵是以在中的坐标为各个列向量的三阶方阵。123,,eeeI从而基变换公式可简写为:123123()()eeeeeeC9三、向量和点的坐标变换公式设向量在和中的坐标分别为和，则(,,)xyz123[;,,]IOeee123[;,,]IOeee(,,)xyz123123123111213123212223313233()()()()()xxeeeyeeeCyzzxeeeCyzcxcyczeeecxcyczcxcycz10对比这就是向量的坐标变换公式。123()xeeeyz可知111213212223313233cxcyczcxcyczcxcxxyCyzyczz下面讨论点的坐标变换公式：设点在和中的坐标分别为和，并设点在中的坐标为.(,,)xyz123[;,,]IOeee123[;,,]IOeee(,,)xyzMIO123(,,)ddd111e3e2eoo1e2e3eM123123()()eeeeeeC②112323()dedOeedO①两个标架之间的关系:12123123123123121231233123()()()()()dxeeedeeeyzddxeeedeeeCyzddxOeeeCydzdOOOMM对比123()xOMeeeyz可知123dxxyCydzzd这就是点的坐标变换公式。13两个坐标变换公式的异同点不同点：向量的坐标变换公式是齐次的，点的坐标变换公式是非齐次的。相同点：都是用中的坐标去求中的坐标；都是一次线性关系式。II思考：点的坐标变换公式什么时候表现为齐次的？141.2图形的坐标变换公式设曲面在坐标系中的一般方程为,则它在坐标系中的一般方程为:IS(,,)0FxyzI113212121232313331232(,,)0Fcxcyczdcxcyczdcxcyczd对于曲线,将其视为两张曲面的交线,从而曲线的坐标变换公式可以将两张曲面的坐标变换公式联立得到.例3.1151.3过渡矩阵的性质123,,eee不共面|C|0过渡矩阵是可逆矩阵C命题3.1设有三个仿射坐标系,若从的过渡矩阵为C,从的过渡矩阵为D,则从的过渡矩阵为CD.,III和II到II到II到推论若从的过渡矩阵为,则从的过渡矩阵为.II到II到C1C注：以上所有的概念、定义和结论对于平面上的坐标变换都有类似的结果，而且更加简单。例3.2、3.3161.4代数曲面和代数曲线一个结论：若空间中的一张二次曲面和一张平面相交，则交集为二次曲线，或者直线，或者一个点。注1：次数的概念不是纯几何的，它与方程有关。如果是一个关于的多项式，则称方程的图像为代数曲面，并把多项式的次数称为这个代数曲面的次数。(,,)Fxyz,,xyz(,,)0Fxyz注2：代数曲面及其次数与坐标系的选取无关。在平面上，相应地有代数曲线及其次数的概念。171.5直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵设和是空间中的两个直角坐标系，到的过渡矩阵为123[;,,]IOeee123[;,,]IOeee111213212223313233cccCccccccII则简单计算表明:1112132122233132333100010001teeeeeeeeeeeeeeeeCCEee命题3.2直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵.命题正交矩阵的行列式为+1或-1.命题正交矩阵将直角坐标系变为直角坐标系.命题行列式为正的正交矩阵保持定向;行列式为负的正交矩阵改变定向.18正交矩阵的一些性质矩阵是正交矩阵CtCCE1tCC矩阵的每行元素的平方和等于1,且不同两行对应元素乘积之和等于0.C矩阵的每列元素的平方和等于1,且不同两列对应元素乘积之和等于0.C矩阵是正交矩阵tC19二阶正交矩阵的特殊形式二阶正交矩阵只有以下两种形式:cossincossinsincossincos或移轴变换12dxxyyd转轴变换2211cossin()()sincoseeeecossinsincosxxyy20§2二次曲线的类型目标：寻找一个新的右手直角坐标系，使得在其中的方程成为标准方程，从而看出其几何形状。先讨论在平面右手直角坐标系中，二次方程：所代表的二次曲线的几何形状。22221121122220aaxaxyybxbyc方法：转轴（消去交叉项）+移轴（进一步化简）注：若,用移轴的方法就可化为标准方程,因此处理是关键所在.下面讨论的情况。120a12a120a211、首先,我们希望新的坐标系还是直角坐标系,而且最好还是右手系。因此这个变换必定是正交变换,而且行列式为+1.问题:怎么想到是转轴而不是别的变换?2、其次,平面上的正交矩阵只有两种类型,其中行列式为正的就是转轴变换.22用它的二次项系数构造对称矩阵:111212220aAaaa于是1112122212()22,)(Faaxbxbyxcayyyxacossinsincosxxyy设所要找的转轴变换为:01222()xxyAybxbyc2.1用转轴消去交叉项记,2222121211(,)222Fxyaxyaaxybxbyc23则二次项部分的变换如下:00cossincossin()sin()cossincosxxyAyxxyAy2211122222111222221112221112sin2cos22sin2cos22cossin2sin()sinsin2cosaaaaaxxyyaaaaaaa因此,要使新坐标系中的方程没有交叉项,只要取满足221112sin2cos202aaa即112212cot22aaa24作移轴变换21122212220axyabxbyc2.2用移轴进一步简化方程设二次曲线在某个右手直角坐标系中的方程为:其中和不全为0.11a22a1)若和都不为0,则配方得:11a22a22122111122221222121(())0axycaaaabbbba112212,bbxxayya则方程化为:222212112211220bbaxaycaa25进一步可化简为以下5种形式之一:22221abxy22221xyab22220abxy22221xyab22220abxy椭圆空集一点双曲线一对相交直线26211112112112)0(baxycaabb1111121222,2bbbbxxacyya2)若和中有一个为0,不妨设为0,不为0.11a22a22a11a则方程可化为:若,作移轴变换:20b进一步化为:22xpy抛物线方程化为:211220axby27211112112112)0(baxycaabb111,xxayyb若,作移轴变换:20b进一步化为:2xdd0:一对平行直线方程化为:22111110cabaxd=0:一条直线d0:空集28小结1)由于坐标变换不改变代数曲线的次数，所以仿射坐标系下的二次曲线在直角坐标系下仍然还是二次曲线。2)所有的二次曲线只有以下七种（空集除外）：椭圆、双曲线、抛物线、一对相交直线、一对平行直线、一条直线、一个点。29§3用方程的系数判别二次曲线的类型，不变量上一节引入的方法的局限性：问题：如何判别在仿射坐标系下给出的二次方程所表示的二次曲线的类型?1)转轴和移轴只适用于直角坐标系;2)计算量比较大.新的方法：不变量法用方程的系数去构造不依赖于坐标系的不变量，进而直接判别二次曲线的类型。注：这些不变量的构造仰仗于代数语言的引入,因为它们本质上是对称矩阵在合同变换下的不变量.30记,2222121211(,)222Fxyaxyaaxybxbyc用它的系数构造两个对称矩阵:1112111212112212120122222,0baabaabaabaabbcbbAAcA121211121222(,)11aabxaabybFxbycyx3.1二元二次多项式的矩阵可见和是互相决定的.(,)FxyA11xxyAy则312222121