解析几何第二章

解析几何第二章轨迹与方程曲线与方程：定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：（1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；（2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为方程的图形。曲线的方程常表示为：F(x,y)=0或y=f(x)平面曲线的方程例1、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。解：|OM|=R普通方程x2+y2=R2例2、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件|MA|-|MB|=4的动点的轨迹。化为普通方程为xy=2(x+y2)故曲线为yxoxy=2解：方程可表为|MA|-|MB|=4矢性函数当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢称为变向量，记为r(t)。如果变数t(atb)的每一个值对应于变矢r的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称r是变数t的向量函数，记为r=r(t)(atb).矢性函数的分量表示设平面上取定的标架为{O;e1,e2},则向量函数可表示为r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb).（1）其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数。向量式参数方程若取(atb)的一切可能值，由（1）r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb).坐标式参数方程曲线的参数方程常可以写成下列形式：)()()(btatyytxx称为曲线的坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t))的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。表示的径矢r(t)例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点P的轨迹。解：取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时点P恰在原点,经过一段时间的滚动,圆与直线的切点移到A点，圆心的位置移到C点，这时有r=OP=OA+AC+CP设θ=(CP,CA),于是向量CP对x轴所成的有向角为)2(),(CPiPOraaxCθy则jiji)cos()sin()2sin()2cos(aaaaCP又因为|OA|=AP=aθ，︵所以OA=aθi,AC=aj从而点P的向量式参数方程为r=a(θ-sinθ)i+a(1-cosθ)（＜θ＜+）其坐标式参数方程为)()cos1()sin(ayax这种曲线称为旋轮线或摆线。xOy例4已知大圆的半径为a，小圆的半径为b，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆上某一定点P的轨迹。参数方程为33sincosayax,4ba例5把椭圆的普通方程式化为参数方程。12222byax法一)(sincosbyax法二设y=tx+b,代入原方程得1)(2222bbtxax解得22222,0tabbtaxx在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取22222tabbtax从而222222)(tabtabby在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为)u(uab)uab(byuabbu2ax2222222222注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需补上点(0,-b)，或把它看成当t→时的交点。例6化方程y2(2a-x)=x3(a0)为参数方程。解：设y=tx，代入可得参数方程)(12122322ttatytatx注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如tttyttextarcsinsinlg2注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),,(zyxF有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程0),,(zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形．曲面的实例：曲面的方程F(x,y,z)=0Sxyzo例1已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程.设),,(zyxM是所求平面上任一点，根据题意有|,|||MBMA222321zyx,412222zyx化简得所求方程.07262zyx解|,|||xy例2求两坐标面和所成二面角的平分面的方程。xozyoz解：因为所求平分面是与两坐标面和有等距离的点的轨迹，因此在平分面上的充要条件是xozyoz),,(zyxM即与0yx0yx例3建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.解设),,(zyxM是球面上任一点，RMM||0根据题意有Rzzyyxx2020202202020Rzzyyxx所求方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx得上、下半球面的方程分别是：202020202020)()()()(yyxxRzzyyxxRzz2202020Rzzyyxx由由上述方程可得球面的一般式方程为：反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：0222DCzByAxzyx（*）44222222222DCBACzByAx当时,是球面方程.04222DCBA曲面的参数方程双参数向量函数MozxyS在两个变数的变动区域内定义的函数或(2)vu,),(vurr321),(),(),(),(evuzevuyevuxvur称为双参数向量函数，其中是变向量的分量，它们都是变数的函数。),(),,(),,(vuzvuyvux),(vurrvu,MozxyS当取遍变动区域的一切值时，向径vu,的终点所画的轨迹一般为一张曲面。),(),,(),,(vuzvuyvuxM321),(),(),(),(evuzevuyevuxvurOM曲面的向量式参数方程定义：若取的一切可能值，由（2）表示的向径的终点总在一个曲面上，),(,dvcbuavu),(vurM反之，在这个曲面上的任意点总对应着以它为终点的向径，而这向径可由的值通过（2）完全决定，M),(,dvcbuavu则称（2）式为曲面的向量式参数方程，其中为参数。vu,曲面的坐标式参数方程表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程。因为径矢的分量为所以曲面的参数方程也常写成)3(),(),(),(vuzzvuyyvuxx),(vur),(),,(),,(vuzvuyvux例1求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。MRxyzPQθ解：设是球面上任一点，在坐标面上的射影为，而在轴上的射影为,又设在坐标面上的有向角,与的交角，则),,(zyxMMxoyPPQx),(OPiOPOMPOMPMQPOQOMr所以此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程。krPM)sin(jrQP)sincos(PMQPOQOMrirOQ)coscos()4()sin()sincos()coscos(krjrirr22与MRxyzPQθ中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为)5(sinsincoscoscosrzryrx(4),(5)中的,为参数，其取值范围分别是22与例2求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。解：如图,有PxyzooMQr所以（6）此即为圆柱面的向量式参数方程。PMQPOQOMrkuPMjrQP)sin(irOQ)cos()6()sin()cos(kujrirrPxyzooMQr其坐标式参数方程为)7(sincosuzRyRx)6()sin()cos(kujrirr(6),(7)中的,为参数，其取值范围分别是uu与球坐标系与柱坐标系sinsincoscoscosrzryrxMOMr为半径的球上以为球心，总可以看成在以OMO空间中的任意一点,总可以看成是球面上的一个点,只是不同的点所在的球面其半径不相同将球面方程中的半径变为一个变量,则半径的改变,以及角度的改变就可以确定空间中的任意一点sinsincoscoscoszyx22)0(OM空间球坐标系MRxyzPQθ直角坐标系下2222Rzyx球坐标系下R球坐标系下表示的是一个半平面球坐标系下0表示的是一个圆锥面uzyxsincosu0柱坐标系0),,(0),,(zyxGzyxF空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：空间曲线的一般方程解：0)1(2222zRzyx0)2(222zRyx2222222)3(RyxRzyx00yxyx解：00yx或可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。例1、写出轴的方程。oz轴可看成两个平面的交线，如oz例2、求在坐标面上，半径为R，圆心为原点的圆的方程。xoy例3方程组表示怎样的曲线？632122zxyx解122yx表示圆柱面，632zx表示平面，632122zxyx交线为椭圆.例4方程组4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面,4)2(222ayax圆柱面,交线如图.表示怎样的曲线？（维维安尼曲线Viviani）)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程空间曲线的方程空间曲线的参数方程例5:如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M构成的图形叫做圆柱螺旋线,试建立其参数方程.解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处。AMMtxyzo经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).(1)动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM=t.从而x=|OM|·cosAOM=acosty=|OM|·sinAOM=asint(2)动点同时以线速度v沿z轴向上升.因而z=MM=vt得螺旋线的参数方程x=acosty=asintz=vt注:还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acosy=asinz=b.vb这里当从0变到0+是,z由b0变到b