以2l为周期的函数的展开式

返回后页前页§2以2l为周期的函数的展开式上节讨论了以2为周期,或定义在上然后作2周期延拓的函数的傅里叶展开式,本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的傅里叶展开式,以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式.一、以2l为周期的函数的傅里叶级数二、偶函数与奇函数的傅里叶级数(,]返回后页前页一、以2l为周期的函数的傅里叶级数设f是以2l为周期的函数,用变量替换ππxlttxl或就可以将f变换成以为周期的关于变量t的函().πltFtff[,]llF数若在上可积,则在[,]也可积,这时函数F的傅里叶级数展开式是:01()(cossin),(1)2nnnaFxanxbnx2返回后页前页其中(2)ππππ1()cosd,1,2,,π1()sindt,1,2,.πnnaFtnttnbFtntnπxtl()().πltFtffx因为,所以于是由(1)与(2)式分别得01ππ()(cossin),(3)2nnnanxnxfxabll返回后页前页与1π()cosd,0,1,2,,1π()sind,1,2,3,.lnllnlnxafxxnllnxbfxxnll这里(4)式是以2l为周期的函数f的傅里叶系数,(3)式是f的傅里叶级数.若函数f在[,]ll上按段光滑,则同样可由收敛定理知道返回后页前页01(0)(0)2ππ(cossin).(5)2nnnfxfxanxnxabll例1将函数0,50,()3,05xfxx展开成傅里叶级数.解由于f在[-5,5)上按段光滑,由此可以展开成傅里返回后页前页叶级数.根据(4)式,有05501π1π0cosd3cosd5555nnxnxaxx5035πsin0,1,2,,5π5nxnn5505011()d3d3,55afxxx501π3sind55nnxbx返回后页前页5035π3(1cosπ)cos5π5πnxnnn6,21,1,2,,(21)π0,2,21,2,.nkkknkk代入(5)式,得136(21)π()sin2(21)π5kkxfxk36π13π15πsinsinsin.2π53555xxx返回后页前页(5,0)(0,5).x0x这里当和±5时级数收敛于3.2返回后页前页二、偶函数与奇函数的傅里叶级数[,]ll()cosfxnx的偶函数,则在上,是偶函数,()sinfxnx是奇函数.因此,f的傅里叶系数(4)是01π()cosd2π()cosd,0,1,2,,(6)1π()sind0,1,2,.lnlllnlnxafxxllnxfxxnllnxbfxxnll设f是以2l为周期的偶函数,或是定义在上[,]ll返回后页前页于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项,即其中如(6)式所示(7)式右边的级数称为余弦级数.01π()cos,(7)2nnanxfxal同理,若f是以2l为周期的奇函数,或是定义在[,]ll上的奇函数,类似可推得01π()cosd0,0,1,2,,(8)2π()sind,1,2,.lnllnnxafxxnllnxbfxxnll返回后页前页所以当f是奇函数时,它的傅里叶级数只含有正弦函数的项,即1()sin,(9)nnnxfxbl其中nb如(8)式所示.(9)式右边的级数称为正弦级数.若l,则偶函数f所展开成的余弦函数为01()cos,(10)2nnafxanx其中返回后页前页当且f为奇函数时,则它展成的正弦级数为π02()cosd,0,1,2,.πnafxnxxn1()sin,(12)nnfxbnx其中π02()sind,(13)πnbfxnxx[0,][0,]l注如何将定义在上(或更一般地上)的函数展开成余弦级数或正弦级数?方法如下:首先将定义在[0,]上的函数作偶式延拓或奇式延拓到返回后页前页[,]上(如图15-8(a)或(b)).然后求延拓后函数的傅里叶级数,即得(10)或(12)形式.图15-8(a)偶式延拓OyxOyx(b)奇式延拓返回后页前页也可以不作延拓直接使用公式(11)或(12),计算出它的傅里叶系数,从而得到余弦级数或正弦级数.例2设函数()|sin|,ππ,fxxx求f的傅里叶级数展开式.解f是[,]上的偶函数,图15-9是这函数及其周期延拓的图形.由于f是159图Oyx322返回后页前页按段光滑函数,因此可以展开成傅里叶级数,而且这个级数为余弦级数.由(10)式(这时可把其中“~”改为“=”)知01|sin|cos,2nnaxanx其中0024sind,ππaxxπ102sincosd0,πaxxx返回后页前页ππ0022|sin|cosdsincosdππnaxnxxxnxxπ021[sin(1)sin(1)]dπ2nxnxx212[cos(1)π1](1)π1nnn20,3,5,,41,2,4,,π1nnn所以返回后页前页21214|sin|cos2ππ41mxmxm212cos212.,π41mmxxm2121012.π41mm1111.21335(21)(21)mm0x当时,有由此可得返回后页前页1,0,1(),,20,xhfxxhhxπ解函数f如图15-10所示,它是按段光滑函数,因而可以展开成正弦级数(12),其系数π0022()sindsindππhnbfxnxxnxx例3求定义在上的函数[0,](其中0h)的正弦展开式.Oyxh115-10图返回后页前页02cos2(1cos).ππhnxnhnn所以12(1cos)()sin,0,π.πnnhfxnxxhhxn0xxh当时,级数的和为0;当时,有12(1cos)101sin.π22nnhnhn若令h,则有返回后页前页121(1)()sinπnnfxnxn411sinsin3sin5,0,π35xxxx当0x,π时,级数收敛于0.()fxx(0,2)例4把在内展开成:(i)正弦级数;(ii)余弦级数.解(i)为了把f展开为正弦级数,对f做奇式周期延拓(图15-11),并由公式(8)有返回后页前页1511图Oyx226620,0,1,2,,nan202π4sindcosπ22πnnxbxxnn14(1),1,2,.πnnn返回后页前页所以当(0,2)x时,由(9)及收敛定理得到114π()(1)sinπ2nnnxfxxn4π12π13πsinsinsin.(14)π22232xxx但当x=0,2时,右边级数收敛于0.1512图Oyx224662返回后页前页(ii)为了将f展开成余弦级数,对f做偶式延拓(图15-12).由公式(6)得f的傅里叶系数为0,1,2,,nbn200d2,axx22202π4cosd(cosπ1)22πnnxaxxnn224[(1)1],1,2,πnnn或返回后页前页212228,0(1,2,).(21)πkkaakk所以当(0,2)x时,由(7)及收敛定理得到2218(21)π()1cos(21)π2kkxfxxk2228π13π15π1coscoscos.(15)π23252xxx读者由例4可以看到,同样一个函数在同样的区间上可以用正弦级数表示,也可以用余弦级数表示,甚至作适当延拓后,可以用更一般的形式(5)来表示.