福州一中自主招生2011~2014数学试卷(含答案)

2011年福州一中自主招生一、选择题1．右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误．．的是（★★★）A．acB．bcC．2224abcD．222abc2．下列计算：①42；②236236aaa；③20111||2sin45(1)012；④bcbaca．其中正确的个数有（★★★）A．0B．1C．2D．33．某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款．其中8人捐款统计如下表：捐款数（万元）5102050人数（人）1232设这8人捐款数的众数为a，中位数为b，平均数为c，则下列各式正确的是（★★★）A．abcB．abcC．abcD．abc4．如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点ABC、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（★★★）A．(2,0)B．(2,1)C．(1,2)D．无法确定5．如右图，在ABC中，5,4,3ABACBC，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（★★★）A．2B．125C．52D．226．定义：直线1l与2l相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线1l、2l的距离分别为p、q，则称有序非负实数对(,)pq是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是（★★★）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．化简22221621()393xxxxxxxx的结果为★★★．8．如图，在两面墙之间有一根底端在A点的竹竿，当它靠在一1yxOBAC1ACEDBABCQP侧墙上时，竹竿的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，竹竿的顶端在D点．已知60BAC，45DAE，2AC米，则DE的高度为★★★米．（墙面垂直地面）9．若实数ab，满足21ab，则224ab的最小值是★★★．10．如图，△ABC的三边长分别为3、5、6，BD与CE都是△ABC的外角平分线，M、N是直线BC上两点，且AMBD于D，ANCE于E，则DE的长等于★★★．11．下面为杨辉三角系数表，它的作用之一是指导读者按规律写出形如()nab（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出6()ab展开式中所缺的系数．则12．三个同学对问题“若方程组111222axbycaxbyc的解是410xy，求方程组111222459459axbycaxbyc的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是★★★．三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE、DE．△DCE沿DE翻折后，点C恰好落在AE上，记为点F．（Ⅰ）求证：ADF≌EAB；（Ⅱ）若10AD，1tan3EDF,求矩形ABCD的面积．14．（本小题满分14分）如图，双曲线kyx与直线:(0,0)lykxbkb有且只有ABCNMDE1()abab222()2abaabb33223()33abaababb66542()615abaabab★★★332456156abababb．4432234()464abaabababbAylCEFDAB．．．．．．一个公共点A，ACx轴于C，直线l交x轴于点B．（Ⅰ）求点A的横坐标；（Ⅱ）已知ABC的面积等于1，若有一动点从原点开始移动，假定其每次只能向上或向右移动1个单位长度（向上和向右的可能性相同）．求3次移动后，该点在直线l上的概率．15．（本小题满分14分）已知二次函数22yaxaxc的图像与x轴交于(1,0)A、B两点，其顶点为M．（Ⅰ）根据图像，解不等式220axaxc；（Ⅱ）若点(3,6)D在二次函数的图像上，试问：线段OB上是否存在N点，使得ADBBMN？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由．福州一中2011年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号123456答案CBABBD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7．1x　　　8．2　2　　9．1　　　10．7　　　11．　　20　　12．918xy　　　三、解答题（本大题共3小题，满分40分）13．(Ⅰ)证明：DCE沿DE翻折得到DFE，DCE≌DFE，∴,90DCDFDFEC，…………2分CEFDAB又矩形ABCD中//ADBC,ABCD,90B。，∴DAEAEB,ABDF．……………4分在ADF与EAB中，90BDFADAEAEBDFAB。=，ADF≌EAB．…………………………………6分(Ⅱ)tRDFE中，tanEDF=EFEF=13，设EF=x,则DF=3x，………………7分∴10AFAEEFADEFx，在RtADF中，222+AFDFAD，∴222(10)(3)10xx，解得2x．………………………………………10分∴36DCDFx，∴10660ABCDS矩形．…………………………12分14、（Ⅰ）解：联立kyxykxb，得20kxbxk．∵双曲线与直线有且只有一个公共点A，∴2240bk,即224bk,0,0bk∴2bk．…………………………3分220kxkkx，2(1)0kx．解得：1x，即A点横坐标为1．…………6分（Ⅱ）∵直线l的方程为2ykxk，令0y得：l与x轴交点B为(2,0)，…………………………………7分∴2OB．又(1,)Ak，ACx轴,∴1OC，ACk，211BC．又112ABCSACBC，即1112k，AxBCyOl解得：2k．∴直线l的方程为24yx．…………………………………10分动点从原点出发每次向上或向右移动1个单位，根据树状图知有8种可能结果：(右，右，右）、(右，右，上）、(右，上，右）、(右，上，上），(上，右，右）、(上，右，上）、(上，上，右）、(上，上，上）．其对应的坐标分别是：3,0（）、2,1（）、2,1（）、1,2（）、2,1（）、1,2（）、1,2（）、0,3（）．………12分其中恰好在直线:24lyx上的共有3种，∴该点在直线l上的概率38P．………………………………………………………14分15．(Ⅰ)∵函数22yaxaxc图象的对称轴为直线1x，∴A、B两点关于直线1x对称，又A点的坐标为(1,0)，∴B点的坐标为(3,0)．………………………2分①当0a时，抛物线的开口向上，∴不等式220axaxc的解集为1x或3x；…………………4分②当0a时，抛物线的开口向下，∴不等式220axaxc的解集为13x．…………………………………6分（Ⅱ）∵(1,0)A、(3,6)D都在此函数图象上，∴20aac即3ca；966aac即615ca．∴12a，32c．∴此二次函数的解析式为：22131(1)2222yxxx．函数图象的顶点为(1,2)M．…………8分BOFAEDxy1xNM假设线段OB上存在(,0)(03)Ntt点，使得ADBBMN，过D作DEx轴于E，过M作MFx轴于F．∵(3,6)D，B(3,0)，(1,2)M，∴6,6DEBEOBOE，∴△DEB为等腰直角三角形，45DBA．…………………………………10分同理45MBN．……………………………………………………………11分又ADBBMN，∴△ADB∽△NMB．……………………………………………………………12分∴ABDEBNMF，即4632t，解得53t．∴线段OB上存在点5(,0)3N，使得ADBBMN．………………………14分2012年福州一中自主招生一、选择题1．右图是一圆锥的主视图、俯视图及相关数据，该圆锥的侧面展开图是一个扇形，则该扇形的圆心角的度数是(★★★)A．60B．90C．120D．1802．下列运算：①2aa；②22212(1)111xxxx；③236(3)(2)6aaa；④20122|2sin60|(tan452)2231；其中正确的运算有（★★★）A．1个B．2个C．3个D．4个3．右图是2012年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和不可能是（★★★）A．24B．27C．33D．40日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930314．如右图，线段AB、CD相交于点O，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，若70D，20B，则P的度数为（★★★）A．30B．45C．50D．605．已知关于x的不等式组12115xaxx恰有三个整数解，则实数a的取值范围是(★★★)A.32aB.32aC.32aD.32a6．有一个游戏的规则如下：请你给出3个不同的非零实数，将它们分别填入如下的一元二次方程的“□”中：□2x+□x+□0，这3个数任意放置时，该方程均有两个不同的有．理根．．．则满足游戏规则的一组数据是（★★★）A．2,1,3B．4,1,3C．5,2,3D．6,1,2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．如右图，有一长为8cm，宽为6cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为12AAA，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿2AC与桌面成30角，则点A翻滚到2A位置时，点A经过的路径长为_★★★★★cm．8．为庆祝我校建校195周年，校学生会准备举办一场数学游园活动。其中有一个“掷数描点”的游戏，其规则是：参加游戏的每个人掷一枚骰子两次，第一次掷出的点数作为点的横坐标，第二次掷出的点数作为点的纵坐标；若所描出的点恰好同时落在函数6yx和2611yxx的图象上的则中奖。若某同学参加此游戏，则该同学中奖的概率为_★★★．9．已知两个不等实数a、b分别满足231aa，231bb，则22(51)(51)aabb的值为★★★★★★_．10．如右图，在等腰三角形ABC中，15ABAC，点D在BC上，ABAD，7CD，则BD的长为_★★★★★★．11．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如abc就是完全对称式．下列四个代数式：①2)(ba；②3()ab；③abbcca；A1A2ABCOPABDC④222abbcca．其中是完全对称式的是_★★★★★★_（请把正确的序号都填上）．12．某校数学选拔测试共有15题，校方抽样对做对(0,1,2,,15)nn道题的人数做了一个统计，其部分数据如下：n0123…12131415做对n道题的人数1124…15631如果又知其中做对4道题和4道题以上的学生每人平均做对6题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4题，则这张表至少统计了★★★★★★人.三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分12分）如图，已知RtABC中，90ACB，以AC为直径的圆O交斜边AB于D．过D作DEAC于E，将ADE沿直线AB翻折得到ADF．（Ⅰ）求证：DF是O的切线；（Ⅱ）若O的半径为5，3sin5FAD