解答二次根式问题的几点注意

学习二次根式概念“四注意”一、注意：二次根式的定义定义：一般地式子a（a≥0）叫做二次根式，理解这个概念时，要抓住三个要点：（1）从形式上看而次根式必须有二次根号“”，如9是二次根式，而93，3显然就不是二次根式，因此，二次根式是指某种式子的“外在形态”．（2）被开方数a可以是数，也可以是但是，若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则a没有意义，故a≥0是a为二次根式的前提条件。总之，理解二次根式a要抓住两个非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②二次根式的值是非负数，即a≥0．（3）二次根式是一种代数式，二次根式是由于开平方运算得到的，当被开方数为常数时，它是一个实数，能开得尽方的为有理数，不能开得尽方的为无理数。当被开方数中含有字母时，它就是我们以后将要接触到的无理式，因此，虽说二次根式为代数式，但其可能为有理式，也可能为无理式，它是代数式中的一部分．二、注意：定义是判断一个式子是否为二次根式的依据，判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”；（2）被开方数大于等于0，只要同时民主这两个7，它就是二次根式，否则不满足其中任何一个特征，它就不是二次根式，例如：23,1,1xx（x≥1）等都是二次根式，32,5,x（x＜0＝就不是二次根式．三、注意：怎么确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围由二次根式的定义可知，当a≥0时，a有意义；当a＜0时，a没有意义，故确定被开方数中字母的取值范围问题，可根据形如a的式子有意义，或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可，如：要使31x在实数范围内有意义，必须使3x-1≥0，即x≥13．确定自变量的取值范围是本节的重点也是难点，所以一定要高度重视，我们学过的内容不外乎以下几种类型：根据函数解析式确定自变量取值范围应从以下几个方面考虑：①整式型：若函数解析式是整式时，则自变量取值范围为一切实数；②分式型：若函数解析式是分式时，则分母不为零；③二次根式型：若函数解析式是二次根式时，则被开方数为非负数；④指数型：若函数解析式用零次幂表示时，则应考虑底数不为零；⑤综合型：若函数解析式是整式型、分式型、二次根式型、指数型的综合，则自变量取值范围是它们各自取值范围的公共部分．四、注意：二次根式的简单性质由二次根式的定义可得a（a≥0）是一个非负数，又因为开平方运算与平方运算是互逆运算，因而有：2()aa（a≥0），由此可得二次根式的两个简单性质：（1）a（a≥0）是一个非负数；（2）2()aa（a≥0）．如：3是3的算术平方根，3是3的平方根，而22(2)2,(3)3．二次根式的乘法运算应注意的问题(1)进行二次根式的乘法运算时，应尽量把被开方数进行因数分解或因式分解，不可机械地套用乘法法则abab(a≥0，b≥0)，盲目地把被开方数相乘．例如，计算4854=4854=163392=4×3×3×2=362．(2)进行二次根式的乘法运算时，不一定非得把二次根式先化成最简二次根式，然后再相乘，但最后结果必须是最简二次根式．例如，计算13725325时，最好先把二次根式化成最简二次根式，再进行乘法计算，这样就会比较简便，即13725325=11625335=26．但是，如计算27310315421时，就不必先二次根式化成最简二次根式，倒是直接运用乘法法则运算来得简便．27310315421=23710341521=1229=126．(3)如果被开方数中含有小数，应把小数化成分数，然后再进行乘法运算，切不可直接就进行小数的乘法运算．例如，3.15211.25=254584=2253524242=15108．(4)进行二次根式的乘法运算时，对于类似于多项式与多项式相乘的题型，要认真观察题目的结构特点，充分利用乘法公式简化计算过程．学习二次根式注意挖掘隐含条件形如(0)aa≥的式子叫二次根式，这里a≥0是二次根式的隐含条件，不可忽视．一、应用隐含条件确定字母的取值范围：例1．已知211aaaa，则a的取值范围是（）A．0a≤B．0aC．01a≤D．0a解析：ab＝ab，成立的条件是：0,0ab≥，而且当0a≥时，2aa；所以22111aaaaaa成立的条件应是：100aa≥＞，即01a≤，故此应选C．温馨提示：在二次根式化简时一定要注意法则成立的条件，再有要注意分母不为0的条件制约．二、(0)aa≥非负性的应用例2．若220xyy，则2()xy的值为（）A．64B．64C．16D．16解析：因为(0)aa≥可以认为表示的是a的算术平方根，所以a表示非负数，又因为2xy表示绝对值，也是非负数，那么两个非负数的和为0，则么每个数应都是0，即2xy＝0，20y，所以2y，24xy，因此2()xy＝2(42)＝64，故选A．温馨提示：在初中我们接触到了实数的三个非负性，即a0≥、a0≥、2a0≥，当这三者中两个或三个相加和为0时，应每个都等于0．三、(0)aa≥，隐含条件a≥0的应用．例3．已知x、y为实数，且满足111222yxx求252121xyyy的值．解析：因为x为实数，所以隐含着两个算术根都有意义，即被开方数均为非负数．依题意得10210.2xx≥，≥解得：12x，所以110022y，又因为22211yyy＝（）所以252121xyyy＝11152112222（－）＝2温馨提示：若a和a都有意义，则a＝0．例4．已知a为实数，求代数式2284aaa的值解析：由于a为实数，被开方数均为非负数，所以2208400aaa≥≥≥，由20a≥可得a＝0，所以原式＝280＝－2．温馨提示：因为20a≥，若要20a≥，则a＝0．在解这类问题时一定要深入的挖掘题目中字母的内在含义．二次根式的运算“四注意”二次根式的运算可以说是前面学过的二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用，也是本章内容的落脚点，是前面几节内容的总结，在进行二次根式的运算时，请同学们还要注意以下几点：一、注意运算顺序问题二次根式的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．例1．计算：123(23)．解：原式=33(23)232323(23)(23)=232333．说明：计算时注意运算顺序，另外，除法没有分配律，若做成33(23)12就错了．二、注意运算法则问题在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式可以看作“多项式”，因此实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式等）在二次根式的运算中仍然适用．例2．计算：（2+3―6）（2―3―6）．解：原式=〔（2―6）＋3〕〔（2―6）―3〕=（2―6）2―（3）2=8―23―3=5―23．三、注意熟练进行二次根式计算和化简在理解二次根式基本概念基础上，掌握好二次根式的重要性质多做一些练习，就能达到熟练计算和化简二次根式的目的，除此之外还要掌握一些方法技巧．１．因式分解法例４．化简：yy+yyy2解：原式=yy+yyy2=yyy2=yy2)(=+y２．观察法例５．设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a,x,y实数，则22223yxyxyxyx的值为（）．解：由二次根式定义知：a－y≥0,x－a≥0,a(x－a)≥0,a(y－a)≥0,∴a≥0且a≤0∴a=0∴已知等式可化为oyx，∴x=-y.∴222222)()(3yyyyyy=223yy=31．３．凑零法例６．已知=132求2+1的值．解：由=132=13，得31，两边平方后整理得0222,原式=34313003)22(2．４．倒数法例７．当32时，求代数式3)32()347(2的值．解：由32，得321，∴原式=323113113)32()32(2222．５．整体代入法例８．已知2323，2323y，求代数式22)()(yyyy的值．解：由已知得625，625y，10y，1y，原式=9910110110122．６．换元法例９．已知11122abba，求22ba的值．解：设21a＞0，则122a，由已知得bba112两边平方得222221bbbaa，)(212222abba=0，0222bb，0)(2b，b=,ba21,122ba．四、探索与思考：１．（1）判断下列各式是否正确．你认为成立的，请在括号内打“∨”，不成立的打“×”．①322322（）②833833（）③15441544（）④24552455（）（2）你判断完以上各题之后，请猜测你发现的规律，用含n的式子将其规律表示出来，并注明n的取值范围：．（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．２．如图１，所示的集合中有5个实数，请计算其中的有理数的和与无理数的积的差．３．细心观察如图２，认真分析各式，然后解答问题．21)1(2S1=21；31)2(2S2=22；41)3(2S3=23……A1A2OA4A3A6A5…1S41S5S31S1S21如图（２）32，21，，-23，8图１（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长．（3）求出210232221SSSS的值．４．先将23222xxxxx化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．答案与提示：１．答案为①∨②∨③∨④×．（2）、（3）略。２．1－2；３．455；４．原式＝x，取x＝４，原式＝２．