第四章 波前变换与相因子分析

1线性系统特性光信号与电信号都是电磁波，具有线性特性。•叠加性：系统对输入f1和f2的响应分别为g1和g2，即则有：线性系统可以通过基元函数进行分解、综合；•不变性：光学空间不变性•物点的成像性质与其位置无关，如像点的形状不随物点的空间位置而变；在一定视场范围内，若轴外像差消的得很好，则可视为与轴上点像差一样；111221y,xfy,xgL1122y,xfy,xg22L2222111111y,xgy,xgy,xfy,xf22L2衍射与二维傅立叶变换•夫琅禾费衍射：–衍射体出射面上的复振幅是一个含有不同空间频率和复振幅密度的三维简谐平面波；–在远场，不同传播方向的简谐平面波在空间完全分离；–通过凸透镜，将不同空间频率的平面波会聚于后焦面上不同的位置——频谱–出射面上的复振幅与后焦面上的频谱互为傅立叶变换。•菲涅尔衍射：–衍射体出射面上的复振幅是一系列球心位置不同的简谐球面波；–在菲涅尔衍射面上各球面波在空间不能分离；–衍射场是出射面上复振幅的傅立叶变换3球面波向平面波的转换•必要性：适应傅里叶衍射理论•球面波波前函数为其中相位项中的r可展开两种近似条件：a)傍轴条件b)远场条件表示横向接受范围的量度哪个对纵向距离要求更严格？222yxZQOx0y0zxyPrrjkerax,yU032222222282zyxzyxzyxzr22ρz2ρzλ4a)傍轴条件①波前函数中的振幅系数可近似成：②波前函数中的相位因子忽略r展开式中的高次项，保留二次项，即有傍轴条件下传播到接收面的波前函数可近似为：傍轴条件下近似平面波的特点：振幅为与场点位置无关的常数，具有平面波波前特点；相位保留二次因子，不具备理想平面波的线性特点；zara00zyxjkkjzjkreee222z2022jkzyxjkeezax,yU22ρz5b)远场条件（相位条件）相因子中的二次项相位增量远小于，即①相位近似：相位因子中的非线性项均可忽略，有：相当于相位因子与横向位置（x,y）无关的正入射平面波②振幅近似：仍保留二次项③若ｚ足够大，则有，即振幅与横向位置无关。远场条件下传播到接收面的波前函数可近似为：zara00πzyxk222kjzzyxjkjkzjkreeee222jkzezyxzara22200jkzezara006比较两个条件，哪个对纵向距离要求更严格？•远场条件是从相位角度提出的限制，更苛刻；将代入远场条件可简化为：两个条件可改写成：傍轴条件：远场条件：•光波波长远小于纵向距离，若远场条件能满足，则傍轴条件必然满足；•远场条件考虑了纵向距离、横向接受范围、波长三者的关系，更全面。22ρz2ρzλ222yx,2π/λkπzyxk2222ρzλ7波前函数•波前：接收平面处的光场，波前函数描述该光场的分布波前分析：波前的描述与识别Description&recognitionofwavefront波前的叠加与干涉Superposition&interferenceofwavefront波前的变换与分解Transformation&resolutionofwavefront波前的纪录与再现Holograph&reconstructionofwavefront84.1平面与球面波的描述与识别基元成分——球面波与平面波–球面波：由实际点光源产生，或由理论上波前次波源产生，形成球面波衍射理论。–平面波：任意复杂波前可分解成一系列平面波前的叠加，形成平面波衍射理论0rkrωtcosA,tUt1jjkreera,tUr01coskrωtra,tUrtjjeAe,tUrkr（设0=0）（设0=0）9b)平面波U1在ｚ＝０平面上的波前函数为：c)共轭波前函数为：即，由此断定共轭波前是与ｚ轴夹角为（－）、向下的倾斜的平面波。问题１：平面波U1传播方向与（xz）平面平行，与z轴夹角为，写出其波前函数及其共轭波前函数：a)确定坐标系和波矢量的三个分量：θkkzcos1zk1k2xPU2U1O–θkkxsin101ykxsinθkjAex,yU11xsinθk-jAex,yUx,yU212xθsinkjAex,yU22波前的描述与识别：波的特征波前函数10问题2：轴上点光源Q位于(0,0,-R)，写出相应的球面波和共轭波的波前函数。a)因在处的发散球面波波前函数：其中波矢量：，Rz0xzRRQQ’PoU3U4，000yx0zrjkerax,yU03222Ryxrb)共轭波前：由相位符号可断定是会聚球面波，且其会聚中心在z轴上z=R处rjkeraUx,yU034222Ryxr11•傅里叶变换也称变换光学，由此产生信息光学；•现代光学变换以经典波动光学为基础，是干涉、衍射理论的综合和提高。衍射与波前变换4.2傅里叶变换光学惠更斯-菲涅尔原理菲涅尔、夫琅禾费衍射衍射应用成像光谱波前再现结构分析全息空间滤波研究平台12衍射系统及其三个波前衍射系统的三个场分布：①入射场：U1（x,y）②出射场：U2（x,y）③衍射场：U（x’,y’）入射场是照明光源到达衍射屏的波前函数；出射场是衍射屏的透射场或反射场，是衍射空间初端的波前函数，是它决定衍射空间光场的分布；衍射场是纵向特定位置的波前函数（x,y）U1U2U（x’,y’）衍射系统波前变换13衍射的基本问题——由一个波前导出前方任意处的另一个波前按标量波传播的基尔霍夫衍射理论，衍射场为：表明衍射场是衍射屏上大量次波点源发射球面波的相干叠加定义衍射屏函数屏函数是复振幅，可分为振幅型、相位型、相幅型dxdyeyx,Ujλ',y'xUjkr020r1x.yjex,ytx,yUx,yUx,yt1214对衍射的理解•屏函数改变了波前，从而改变后场分布。对衍射的不同表述：①光在传播过程中遇到障碍物时，发生偏离几何光学的传播行为；②光波传播过程中波面受到限制，自由完整的波面发生破缺的现象；③光在传播过程中因某种原因改变了波前的复振幅分布，使得后场不再是自由传播的光场。dxdyex,yUjλjkr010r1自由传播光场dxdyex,yUx,ytjλ',y'xUjkr010r1衍射场154.3相位衍射元件（１）透镜的相位变换函数透镜的作用：①光瞳，限制波前。②变换波前，改变波前的聚散性。•以上两种作用可用复振幅透过率函数（屏函数）统一表示。•透镜前后（x,y）平面的入射波前函数和透射波前函数分别为：QQ’1’2oo(x,y)(x,y)d0d12x,yj1ex,yAx,yU11x,yj2ex,yAx,yU2216透镜屏函数为：•其中D是透镜孔径，若忽略透镜的吸收、反射等造成的光强损失，则a（x,y）≈1，透镜为纯相位衍射元件孔径内的屏函数（相位变换函数）为：对于薄透镜近似有：以厚度为参量的厚度函数为：因此•0与（x,y）无关，不影响相位分布瞳外瞳内2022112Dr,Dr,aeeAAUUx,yt1212jj22yxrx,yjLex,ytx,yx,yx,y1221Δx,yndΔkx,y210ΔΔdnx,ynd,ΔΔnkx,y210100knd17导出透镜的相位变换函数：傍轴条件下：对于双凸透镜，r10，而r20于是由此透镜的相位变换函数为：可见在傍轴条件下薄透镜是一个二次型相位变换元件1222221112ryxyxrrx,yΔ2222222222ryxyxrrx,yΔFyxkx,y222211111rrnFFyxjkLex,yt22218相位变换函数导出薄透镜焦距公式平行光入射的入射场为：U1（x,y）＝Ａ1，其出射的波前函数为：•这正是一列傍轴球面波的波前函数，其聚散中心坐标为（0,0,F），球面波中心在轴上，且距离透镜F远。F0对应于会聚透镜，F0对应于发散透镜FyxjkLeAUtx,yU21122219相位变换函数导出薄透镜成像公式•物点Ｑ发出的发散球面波到达透镜的波前函数：•经透镜变换后的出射波前•其中：syxjkeAx,yU21122s'yxjksyxjkFyxjkLeAeeAUtx,yU2122112222222sFs'111这是一个仅有二次相因子的波前，代表一列会聚中心（像点Ｑ‘）在（0,0,s’）的球面波S’0表示U2是会聚球面波，S’0表示U2是发散球面波Fs's111QQ’U1U2SS’F透镜变换高斯公式20（２）棱镜的相位变换函数•棱镜是光束偏转元件，基本功能仅是改变光束传播方向，属线性相因子；•若平面波入射，出射仍然是平面波，故其透射函数为两个线性相因子的比。可推导出透射函数仍为线性函数：αxnjkPex,yt1xd0donz21棱镜傍轴成像公式•像是点源的集合，故考虑棱镜对球面波的变换功能；•设物点发出的到达棱镜的波前函数为：•经棱镜变换后的出射波前：•是一列轴外发散球面波的波前函数，其发散中心，即像点位置分别是：•且像点Q’与物点Q离棱镜距离•相等，两者横向间隔为：syxjkeAx,yU21122sαsxnsyxjksyxjkαxnjkPeAeeAUtx,yU121211122222αs,nx'1,y'0s,z'αsnQQ'd1sQQ’U2tPz22对变换元件与波前函数的理解改写棱镜的出射波前函数：波前函数等效于一列偏转角为（n-1）x的平面波变换元件等效于一个焦距为（-s）的发散透镜球面波入射与棱镜等效为一列斜入射的平面波作用于一发散透镜，成为一束发散于Q’点的球面波。F’=sF‘（n-1）xQ’Ue1teLU2αxnjksyxjkeAex,yU112222变换元件波前函数12eeLUtx,yU234.4波前相因子分析法•原则上根据基尔霍夫衍射积分公式可由衍射屏的出射波波前函数导出前方接受平面的衍射场——复杂、需在一定条件下近似处理。波动理论提供一个更有价值的观念：–二维波前决定三维波场–波场的主要特征体现在波前函数的相位上–复杂波场由一系列基元成分（平面波或球面波）叠加而成波前变换元件可以使波前分解、合成和分离─波前相因子分析法就是根据波前函数的相因子，判断波场的特征、分析衍射场的主要特征24波前相因子和变换相因子1.波前相因子①平面波波前函数为线性因子②球面波波前函数具有二次相因子和交叉线性因子•其中±对应球面波的聚散性，交叉线性因子（x0,y0）决定聚散中心横坐标，z决定聚散中心Q与观测平面（x,y）的纵向距离。所以聚散中心位置坐标为：yθxθjkeAx,yU21sinsin1zyyxxzyxzyxjkezax,yU0022202022z,,yxQ00252.变换相因子①薄透镜变换函数具有二次相因子（会聚或发散）-变换函数出现二次相因子，不管是否有实物透镜存在，其效果等同于经历一次透镜聚散②小角棱镜变换函数具有线性相因子•线性系数（1，2）是棱镜第二折射面法线两个方向余弦角的余角；–变换函数出现线性相因子，不管是否有实物棱镜存在，其效果等同于经历一次光束偏转FyxjkLex,yt222