两条直线的 夹角

两条直线的夹角定义1：当两条直线相交时，我们称不大于直角的角叫做两条直线所成的角，简称“夹角”，记为α；当两条直线平行或重合时，两直线的夹角α=0。因此α的取值范围是2,0）θl1l2请同学们看演示，理解直线到直线的角的定义。定义2：若直线l1与直线l2相交，我们把直线l1绕着交点按逆时针方向旋转到与l2重合时所转过的角，叫做l1到l2的角，记为θ。设l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2，则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：θ1+θ2=π其中θ1，θ2∈（0，π）θ的取值范围是（0,π）.直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在xyol1l2112112121112123xyol1l2121)(121xyol1l2121l2l1xoy)(121tgtg1212tgtg1tgtg1212kk1kk121)(12tg1212kk1kk)(121tgtg直线l1、直线l2的斜率分别为k1、k22112211kkkktgll，的角到的斜率。减去角的始边所在直线终边作在直线的斜率注：公式中分子为角的2121121kkkktgll，的角到求“两条直线的夹角”l1l2l1l2设直线l1：y=k1x+b1、l2：y=k2x+b2，的夹角为α，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2若1+k1k2=0时，若1+k1k2≠0时，212121211kkkktg122121kkkktg21211kkkktg上述三个公式的使用前提是两条直线的斜率都存在且这两条直线互不垂直。如果两条直线垂直，则它们的夹角和直线到直线的角都为90°；如果两条直线中有一条直线的斜率不存在，则可依题意作出图形，直接有图形求出两条直线的夹角和直线到直线的角。0xyl2l1112xyl2l1222直线到直线的角与两条直线的夹角的区别：①直线到直线的角是一个动态的角（有方向），而直线的夹角是一个静态的角（无方向）；②直线到直线的角是（0，π）的一个角，而直线的夹角是［0,］的一个角。2例1：求两条直线的夹角023:032:)4(0342:05:)3(0132:052:)2(21:12:)1(21212121yxlylyxlxlyxlyxlxylxyl例2、已知锐角△ABC的三边所在的直线方程为：lAB:y=x+6;lBC:y=0;lCA:7x+4y-35=0,求△ABC的三个内角。例3、已知两条直线的方程是18x+6y-17=0和14x-7y+15=0，求它们的夹角的平分线所在的直线方程。例4：等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是（-1，2），求AB、AC所在直线方程。例5：正方形ABCD的对角线AC在直线x+2y-1=0上，且顶点A（-5，3）、B（m,0）（m-5)，求B、C、D的坐标。例6：求过P（2，3），且与直线：2x+3y-6=0的夹角为arcctg(2/3)的直线方程。例4.等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y–2=0，底边所在直线l2的方程是x+y–1=0，点（-2，0）在另一条腰上，求这条腰所在直线l3的方程.例5、已知光线的入射线所在的直线l2的程是：x-6y+13=0，入射线在定直线m:x+2y-3=0上反射，求反射直线所在的直线方程。，的夹角为与解：设直线11ml22ml的夹角为与直线，的斜率直线6111kl，的斜率直线21kmm22kl的斜率为设直线118612116121kk1kktg1m1m1)()(22222m2m2k2k21k211k21kk1kktg)()(21118k2k212261k1427k22或（舍去）)(21P03y2x013y6x，又由方程组)1(142722xyl的方程为直线011427yx即对称关于直线和分析：直线mll21），（上取一点在直线61301Al），（的对称点为点关于直线设00'yxAmA032y61322x020x613y0000由），（解得，3013158A'01y14x27PA直线方程为点坐标求出和再由'例7：将直线l：2x+3y+1=0绕点P（1，-1）逆时针方向旋转45，求旋转后的所得的直线l’的方程。32的斜率为直线l3213245kktgkl的斜率为解：设直线'51k解得，)('1x511yl的方程为直线06y5x即