渐近分析理论的最新进展

综述英文引用格式:WangS-CR.Asymptoticanalysis|abriefsurvey(inChinese).SciSinMath,2015,45:1363{1382,doi:10.1360/N012015-00112中国科学:数学2015年第45卷第9期:13631382华诞王世全香港城市大学,香港E-mail:[e-mail]收稿日期:2015-02-27;接受日期:2015-06-01摘要本文旨在对20世纪后半叶关于渐近分析理论的最新进展作全方位的概述,其中包括一些经典领域,如积分的渐近逼近、微分方程的渐近解和奇异摄动理论;也涵盖了一些新兴领域,如差分方程的渐近理论和Riemann-Hilbert方法.关键词最速下降法WKB(Wentzel-Kramers-Brillouin)方法奇异摄动理论差分方程Riemann-Hilbert方法MSC(2010)主题分类41A60,34E20,33C45,65Q101引言在数学分析中,我们常常需要描述一个函数在极限附近的性态,这就需要用到渐近分析,例如,Stirling公式:logn!∼(n+12)logn−n+12log2π,调和数(Harmonicnumber):Hn≡1+12+13+···+1n∼logn,Lebesgue常数:Ln≡1π∫π0|sin(n+12)t|sin12tdt∼4π2logn,上面三个式子称为渐近公式或渐近等式.等式中的∼符号表示,当n趋于无穷大时,公式左右两边的商趋向于1.以上三个渐近等式在很多基础的数学分析教材中都可以找到,如文献[1].然而很多时候,渐近公式不能提供给我们足够多的信息,我们便需要展开式中更加高阶的项.这就好比在求近似值时,我们需要用带余项的Taylor展开来取代中值定理.以下是Stirling公式、调和数和Lebesgue常数的高阶展王世全:浅谈渐近分析开式:logn!∼(n+12)logn−n+12log2π+∞∑s=0B2s+2(2s+1)(2s+2)n2s+1,Hn=n∑k=11k∼logn+γ+12n−∞∑s=1B2s(2s)n2s,Ln∼4π2{log(2n+1)+A0−∞∑s=1As(2n+1)2s},(1.1)其中γ是Euler常数,B2s是Bernoulli常数,其定义为zez−1=∞∑n=0Bnznn!,以及A0=2∞∑m=1logm4m2−1+2log2+γ=2.441···,As=(1−22s−1)B2ss[1−s∑m=1(−1)m−1(2m)!B2mπ2m],s1.我们注意到以上Stirling公式、调和数和Lebesgue常数的高阶展开式都是发散的,这时∼的意思是,任何一个截断的部分和都是公式左边的近似,且误差与余项的首项同阶.其实对上述三个展开式,我们有更强的结论:其截断后的误差小于余项的首项,且正负号相同.这些结果并不容易获得,我们需要用到渐近分析的方法加以证明.渐近分析包含五个主要领域.第一个领域是积分的渐近逼近.第二个领域是求解微分方程的渐近解.第一个领域的标准参考书有文献[2–5].第二个领域最权威的参考书是Olver的著作[6].第三个领域—可能被称作“离散渐近分析”,探讨数论和组合数学中出现的一些问题.然而,这一领域的发展仍不完善,甚至关于二阶线性差分方程都没有一个清晰一致的渐近理论.第四个领域是奇异摄动理论,其经常被用于应用数学中,但这个领域的很多结果并不严谨.在20世纪五六十年代,至少还有一些知名的数学家从事这一领域的研究,如文献[7–9].但是现在,除了作者本人以及他的一些学生之外,研究这一领域的学者已寥寥无几.最近,一个新的渐近领域引起了人们很大关注,这一领域建立在由Deift和Zhou(1993)引入的Riemann-Hilbert方法的基础之上.本文将简要介绍以上提及的各个领域.2积分方法(Integralmethods)积分的经典渐近方法包括Watson引理、Laplace逼近、Kelvin驻相原理和Debye的最速下降法等,可参见文献[2–4].其中文献[4]还介绍了一些较为新颖的方法,如Mellin变换、求和法以及广义函数法.值得指出的是,积分的渐近方法发展至今,内容已极为丰富,最新的参考书参见文献[10].以下仅选若干方法作简介.2.1Laplace方法Laplace逼近涉及积分I(λ)=∫baφ(x)e−λh(x)dx,1364中国科学:数学第45卷第9期这里φ(x)和h(x)为连续实函数,a点为h(x)唯一最小值点,且满足h′(a)=0,h′′(a)0,则我们有以下Laplace逼近:I(λ)∼√π2h′′(a)φ(a)λ−12e−λh(a),λ→+∞,高阶项可以很自然地应用Watson引理得到.Laplace逼近或Laplace方法的应用很广,例如,Stirling公式Γ(λ)∼e−λλλ√2πλ[1+112λ+···],λ→+∞可以由Laplace逼近简单地推出,参见文献[4,第60页].此外,Laplace逼近已有一些重要推广.其中,徐利治分别针对最小值点为边界点[11]和内点[12]的情形,推导出了多维的Laplace逼近公式.2.2最速下降法另一个有广泛应用的积分方法是最速下降法.设有形如I(λ)=∫Cg(z)eλf(z)dz的曲线积分,其中λ为大参数,f(z)和g(z)为解析函数,而积分路径C可变形到所谓的最速下降线:(i)C通过f(z)的一个鞍点z0,即f′(z0)=0;(ii)沿C,f(z)的虚部取常数值;(iii)ℜf(z)6ℜf(z0)在C上恒成立.经典的处理方法是引入新的实变量τ=f(z0)−f(z),将原积分化为一个Laplace变换型积分eλf(z0)∫∞0{g(z)dzdτ}e−λτdτ.从而,关于大参数λ的渐近逼近可以直接通过Watson引理得到.另一种处理方法可参见文献[13],对z0点为单鞍点的情形(即f′′(z0)̸=0),令τ2=f(z0)−f(z),则可确定一个τ↔z在z0点附近的共形映射(或保角映射(conformalmapping)).同样利用Dingle的想法,参数λ还可以推广到复数域,最速下降线可以由arg[λ(f(z0)−f(z))]=0来刻画.渐近展开的系数和余项都可以通过积分显式地表出,所得的渐近结果可用以揭示Stokes现象的本质,参见文献[14].例如,Airy函数有以下积分表示:Ai(z)=12πi∫Ltexp(13t3−zt)dt=z1/22πi∫Lsexp{z3/2(13s3−s)}ds,这里暂设z为正实数(大参数),路径Lt从满足−12πargt−16π的无穷远处出发,到满足16πargt12π的无穷远处终止.路径Ls可根据Lt相应确定.不难验证,Ls可变形为通过函数f(s)=13s3−s1365王世全:浅谈渐近分析的鞍点s=1的最速下降线,因而,最速下降法可直接应用于后一积分.Airy函数的渐近展开为(参见文献[4])Ai(z)∼12πz1/4exp(−23z3/2)∞∑m=0(−1)mΓ(3m+12)(2m)!9mz−3m/2,z→∞,|argz|π3.2.3两鞍点相撞以下简述Chester,Friedman和Ursell对最速下降法所作的一个重要拓广.Chester等人[15]考虑了含参数的积分I(λ;α)=∫Cg(z)e−λf(z;α)dz,这里λ为大参数,f和g关于z解析,且当参数α̸=α0时,f′(z;α)=0给出两个单鞍点z=z+(α)和z=z−(α);而当α=α0时,z+和z−重合为一个2阶鞍点.此时,该积分涉及了一个一致渐近的问题,即当α→α0时,如何描述I(λ;α)的渐近性态.为此,Chester等人引入了一个典型变换f(z;α)=13u3−ζu+η,其系数ζ=ζ(α)和η=η(α)可唯一确定,使得z→u决定一个局部共形映射.从而,积分化为eληI(λ;α)=∫C∗φ0(u)e−λ(u3/3−ζu)du,其中C∗为变换后的路径,φ0(u)=g(z)(dz/du)解析.在此基础上,Chester等人利用φ0(u)在±ζ1/2的两点Taylor展开式,得到了以上积分用Airy函数表出的渐近式.更为常用的方法是由Bleistein[16]引入的一个迭代方法:φm(u)=am+bmu+(u2−ζ)ψm(u),φm+1(u)=ψ′m(u),m=0,1,2,...,其系数am(α)和bm(α)可通过ψm(u)的解析性唯一确定.然后,由分部积分,我们可得渐近公式eληI(λ;α)∼Ai(λ2/3ζ)λ1/3∞∑m=0˜am(α)λm+Ai′(λ2/3ζ)λ2/3∞∑m=0˜bm(α)λm,λ→∞,在α=α0的邻域内一致成立,其系数˜am和˜bm可分别由am和bm通过简单的线性关系确定.关于积分一致渐近方法的诸多应用及推广,可参见文献[17].2.4广义函数法积分方法的另一个重要进展是广义函数法,参见文献[18,19].McClure和Wong最初考虑以下Stieltjes变换:Sf(z)=∫∞0f(t)t+zdt,z→∞,其中|argz|π,f(t)在[0,+∞)局部可积,且对任意n1,有f(t)=n−1∑s=0ast−s−α+fn(t),1366中国科学:数学第45卷第9期这里as为常数,0α1,且当t→∞时,fn(t)=O(t−n−α).McClure和Wong的广义函数法,将上式中每一项视为一个速降函数空间S上的正则广义函数(分布)或正则广义函数的导数,从而将上式化为S上泛函的等式.选取一特殊速降函数作用于上式,可得以下渐近公式:Sf(z)=πsinαπn−1∑s=0(−1)saszs+α−n∑s=1(−1)sM[f;s]zs+εn(z),其中M[f;s]为Mellin变换,余项可显式地表示为εn(z)=(−1)nzn∫∞0τnfn(τ)τ+zdτ.广义函数法已应用于单侧Hilbert变换在无穷远点的渐近展开,以及Fourier变换和Laplace变换在0点的渐近展开等,可参见文献[4,第6章]和[17].最近,Galapon和Martinez[20]应用此方法,研究了Hankel变换的渐近展开,在最优截断的情形下,所得逼近的精确度优于Poincar´e渐近逼近.3微分方程Poincar´e(1886)创立了渐近级数展开的概念,从而为渐近分析建立了严格的数学基础.而Poincar´e的这项工作就是为了研究常微分方程在无穷远处的非正则奇点的性态.随着20世纪初量子力学的发展,关于含大参数(如Planck常数的倒数)微分方程渐近解的研究,促使物理学家们建立了WKB逼近理论,而该方法由Liouville和Green更早地提出并应用,所以也称为Liouville-Green逼近.之后,Langer和Olver等人在研究微分方程转折点(transitionpoint)附近的逼近时,引入了一致渐近展开的概念.3.1非正则奇点定义在复平面上的二阶线性常微分方程具有以下形式:w′′(z)+f(z)w′(z)+g(z)w(z)=0,(3.1)其中系数f(z)和g(z)的性质给出了一点z0的分类:若f和g都在z0处解析,则该点为正则点,否则称为奇点.奇点又分为两类:若(z−z0)f(z)和(z−z0)2g(z)都在z0处解析,则该点为正则奇点,否则称为非正则奇点.方程(3.1)的解在正则点和正则奇点处的性质是很清晰的,其通解在这类点处有一个幂级数展开式,而非正则奇点处的性质则稍微复杂.常见于特殊函数中的非正则奇点是位于无穷远处的秩为1的奇点,即系数函数有如下展开:f(z)=∞∑s=0fszs,g(z)=∞∑s=0gszs,(3.2)这些展开式在|z|a的区域上收敛,并且f0,g0和g1至少有一个非零.Poincar´e(1886)对于该类奇点的分析表明,方程(3.1)有如下两个线性无关解:wj(z)∼eλjzzµj∞∑s=0as,jzs,