普通最小二乘法

第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型•回归分析概述•一元线性回归模型的参数估计•一元线性回归模型检验•一元线性回归模型预测•实例§2.1回归分析概述一、变量间的关系及回归分析的基本概念二、总体回归函数（PRF）三、随机扰动项四、样本回归函数（SRF）一、变量间的关系及回归分析的基本概念1.变量间的关系（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。2,半径半径圆面积f（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。施肥量阳光降雨量气温农作物产量,,,f•对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlationanalysis)或回归分析(regressionanalysis)来完成的正相关线性相关不相关相关系数：统计依赖关系负相关11XY有因果关系回归分析正相关无因果关系相关分析非线性相关不相关负相关•注意①不线性相关并不意味着不相关。②有相关关系并不意味着一定有因果关系。③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系。④相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。2.回归分析的基本概念•回归分析(regressionanalysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。•其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。•被解释变量（ExplainedVariable）或应变量（DependentVariable）。•解释变量（ExplanatoryVariable）或自变量（IndependentVariable）。•回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：–（1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；–（2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验；–（3）利用回归方程进行分析、评价及预测。二、总体回归函数•回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。•例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。表2.1.1某社区家庭每月收入与消费支出统计表每月家庭可支配收入X（元）800110014001700200023002600290032003500561638869102312541408165019692090229959474891311001309145217381991213423216278149241144136415511749204621782530638847979115513971595180420682266262993510121210140816501848210123542860968104512431474167218812189248628711078125414961683192522332552112212981496171619692244258511551331156217492013229926401188136415731771203523101210140816061804210114301650187021121485171619472200每月家庭消费支出Y（元）2002共计242049501149516445193052387025025214502128515510•由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同；•但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditionaldistribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。•因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值（conditionalmean）或条件期望（conditionalexpectation）：E(Y|X=Xi)。•该例中：E(Y|X=800)=561•描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消费支出Y（元）•在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（populationregressionline），或更一般地称为总体回归曲线（populationregressioncurve）。)()|(iiXfXYE称为（双变量）总体回归函数（populationregressionfunction,PRF）。•相应的函数：•含义：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。•函数形式：可以是线性或非线性的。•例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:iiXXYE10)|(为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regressioncoefficients）。三、随机扰动项•总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。•但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。•称为观察值围绕它的期望值的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochasticdisturbance）或随机误差项（stochasticerror）。)|(iiiXYEY•例2.1中，给定收入水平Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和：（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分；（2）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。•称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。•随机误差项主要包括下列因素：–在解释变量中被忽略的因素的影响；–变量观测值的观测误差的影响；–模型关系的设定误差的影响；–其他随机因素的影响。•产生并设计随机误差项的主要原因：–理论的含糊性；–数据的欠缺；–节省原则。四、样本回归函数（SRF）•问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？•例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数PRF？表2.1.3家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本Y800110014001700200023002600290032003500X59463811221155140815951969207825852530回答：能•该样本的散点图（scatterdiagram)：•画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线（sampleregressionlines）。•记样本回归线的函数形式为：iiiXXfY10ˆˆ)(ˆ称为样本回归函数（sampleregressionfunction，SRF）。•注意：这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代则•样本回归函数的随机形式/样本回归模型：同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：iiiiieXYY10ˆˆˆˆ式中，ie称为（样本）残差（或剩余）项（residual），代表了其他影响iY的随机因素的集合，可看成是i的估计量iˆ。由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sampleregressionmodel）。▼回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。即，根据iiiiieXeYY10ˆˆˆ估计iiiiiXXYEY10)|(注意：这里PRF可能永远无法知道。§2.2一元线性回归模型的参数估计一、一元线性回归模型的基本假设二、参数的普通最小二乘估计（OLS）三、参数估计的最大或然法(ML)四、最小二乘估计量的性质五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计说明•单方程计量经济学模型分为两大类：线性模型和非线性模型•线性模型中，变量之间的关系呈线性关系•非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系•一元线性回归模型：只有一个解释变量iiiXY10i=1,2,…,nY为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估参数，为随机干扰项•回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。•估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）。•为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。•实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。一、线性回归模型的基本假设假设1.解释变量X是确定性变量，不是随机变量；假设2.随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性：E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n假设3.随机误差项与解释变量X之间不相关：Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n假设4.服从零均值、同方差、零协方差的正态分布i~N(0,2)i=1,2,…,n1.如果假设1、2满足，则假设3也满足;2.如果假设4满足，则假设2也满足。注意：以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。另外，在进行模型回归时，还有两个暗含的假设：假设5.随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一有限常数。即nQnXXi,/)(2假设6.回归模型是正确设定的•假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生所谓的伪回归问题（spuriousregressionproblem）。•假设6也被称为模型没有设定偏误（specificationerror）二、参数的普通最小二乘估计（OLS）给定一组样本观测值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和niiiniXYYYQ121021))ˆˆ(()ˆ(最小。方程组（*）称为正规方程组（normalequations）。记22221)(iiiiXnXXXxiiiiiiiiYXnYXYYXXyx1))((上述参数估计量可以写成：XYxyxiii1021ˆˆˆ称为OLS估计量的离差形式（deviationform）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的，故称为普通最小二乘估计量（ordinaryleastsquaresestimators）。顺便指出，记YYyiiˆˆ则有iniiieXXeXXy111010)(ˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ可得iixy1ˆˆ（**）式也称为样本回归函数的离差形式。（**）注意：在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值的离差。三、参数估计的最大或