第七节 二阶常系数线性微分方程

第七节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程1、定义)(1)1(1)(xfypypypynnnnn阶常系数线性微分方程的标准形式)(0是常数、其中qpqyypy二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式)()(是常数、其中qpxfqyypy二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式2、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法,rxey设将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程,2422,1qppr特征根0qyypy(1)特征方程有两个不相等的实根,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解为:得齐次方程的通解为.2121xrxreCeCy)0(特征根为(2)特征方程有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为得齐次方程的通解为.)(121xrexCCy代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取则,)(12xrexuy设另一特解为特征根为,12xrxey(3)特征方程有一对共轭复根,1ir,2ir)0(特征根为这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex可得)(21211yyy,cosxex)(21212yyyi,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:0qyypy02qprr(1)写出相应的特征方程:(2)求出特征根:(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解.特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx21,rr定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法..043的通解求方程yyy解特征方程为,0432rr解得,11r故所求通解为.321xxeCeCy例1,32r.044的通解求方程yyy解特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例2.052的通解求方程yyy解特征方程为,0522rr解得,2121ir，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx例3例4求解初值问题02sss,40ts20ts解特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为,)(21tetCCs利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C01)1(1)(ypypypynnnn特征方程为0111nnnnprprpr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110jk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(11101110推广：阶常系数齐次线性方程解法n.0)4(的通解求方程yy解特征方程为,014r解得,11r故所求通解为.sincos4321xCxCeCeCyxx例1,12r,4ir,3ir例2.032)4()5(yy解方程解特征方程：,03245rr特征根:23,054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xC.235xeC思考与练习求方程的通解.答案::0a通解为.21xCCy:0a通解为.sincos21xaCxaCy:0a通解为.21xaxaeCeCy二、二阶常系数非齐次线性微分方程)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式由线性微分方程的结构知:非齐次线性微分方程的通解=对应齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的一个特解)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程,0qyypy通解结构,yYyf(x)常见类型,)(次多项式的为设mxxPm.sin)(,cos)()2(xexPxexPxmxm难点：如何求特解？方法：待定系数法.;)()1(xmexP1、f(x)=Pm(x)ex型设方程特解为,)(*xQeyx其中Q(x)为待定多项式,])()([*xQxQeyx])()(2)([*2xQxQxQeyx代入原方程,得)([xQex)()2(xQp])()(2xQqp)(xPemx)(xQ)(xPm)()(2xQqp不是特征方程的根，若)1(,02qp,)()(xQmxQm次待定系数多项式为与可设从而得到特解形式为;)(xmexQy)()2(xQp(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,,02p)(xQ则是m次多项式,故特解形式为.)(*2xmexQxy即即综上可得：(Page291),)(xQexymxkk其中可设特解形式为不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的二重根012)(xPeqyypymx对方程注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）..1632的通解求方程xyyy解故对应齐次方程通解为特征方程为,0322rr其特征根为,3121rr，,321xxeCeCY,0不是特征方程的根,baxy可设代入原方程,得,16)(32xbaxa,1,2ba，于是特解为12xy原方程通解为.12321xeCeCyxx例1对应齐次方程为,032yyy.232的通解求方程xxeyyy解故对应齐次方程通解为特征方程为,0232rr其特征根为，，2121rr,221xxeCeCY,2是特征方程单根,)(2xebaxxy可设代入原方程,得,22xabax,1,21ba，于是特解为xexxy2)121(原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy例2对应齐次方程为,023yyy.1)1(,1)1(2yyexeyyyxx求特解例3解特征方程为,0122rr特征根为,121rr故对应齐次方程的通解为.)(21xexCCY,)(2xebaxxy可设对应齐次方程为,02yyy,1是特征方程二重根代入原方程,得,126xbax,21,61ba，于是特解为,)26(23xexxy原方程通解为.)26()(2321xxexxexCCy,1)1(y,1)31(21eCC,]6)1()([3221xexxCCCy,1)1(y,1)652(21eCC,31121eCC,651221eCC由解得,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为.26])121(612[23xxxexexexeey2、f(x)=ex[Pl(x)cosx+Pn(x)sinx]型]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx]22[ieePeePexixinxixilxxinlxinleiPPeiPP)()()22()22(,)()()()(ximximexPexP,)()(ximexPqyypy利用欧拉公式),max(nlm令求如下两方程的特解：,)()(ximexPqyypy,)()(1ximkexQxy,)()(2ximkexQxy])()([ximximxkexQexQexy],sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexmmxk次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10是特征方程的单根不是特征方程的根iikPage293注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.的通解.解:特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为),3sin33cos5(*xxxy代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为为特征方程的根,).3sin33cos5(xxx可设非齐次方程特解为例1.2cos的通解求方程xxyy解对应齐次方程为,0yy例2特征方程为,012r.0)(,)(20xPxxPnl，，,2不是特征方程的根ii对应齐次方程通解为,sincos21xCxCY特征根为,2,1ir.2sin)(2cos)(*xdcxxbaxy设特解为得代入原方程,,2cos2sin)433(2cos)433(xxxadcxxcbax,043,03,043,13adccba，得比较两端同类项的系数940031dcba解得.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy从而所求的通解为.2sin942cos31*xxxy.sin4的通解求方程xyy提示对应齐次方程通解为,sincos21xCxCY),sincos(xbxaxy可设所求非齐次方程特解为,cos2xxy原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy例3,是单根iiλ).2cos(214xxyy求解方程例4解对应齐次方程的特征方程为,042r特征根为,22,1ir对应齐次方程的通解为.2sin2cos21xCxCY设原方程的特解为.*2*1*yyy,)1(*1baxy可设得代入原方程,，xbax21440,81ba;81*1xy),2sin2cos()2(*2xdxcxy可设得代入原方程,,2cos212sin42cos4xxcxd,81,0dc;2sin81*2xxy故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy.)(d)()(sin)(,)(0的表达式求且满足方程为连续函数设xfttftxxxfxfx例5.1)0(,0)0(sinyyxyy即求特解).cos(sin21)(xxxxf3、小结可以是复数）(),()()1(xPexfmx,)(xQexymxk是重根是单根不是根2.10k二阶常系数非齐次微分方程特解形式：(待定系数法))(xfqyypy],sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx];sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexymmxk次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10是单根不是根iik练习xexyy)2(写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式:解三、二阶常系数线性微分方程应用举例1、建立微分方程的基本条件1)要熟悉能用导数表示的各种常见