第七节 正弦定理和余弦定理

备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理(1)a∶b∶c＝；1．正弦定理＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(2)a＝，b＝，c＝.sinA∶sinB∶sinC2RsinA2RsinB2RsinCasinAbsinBcsinC第七节正弦定理和余弦定理备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理2．余弦定理a2＝，b2＝，c2＝．余弦定理可以变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC3．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab(2)S＝12bcsinA＝＝；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．12acsinB12absinC备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理[试一试]1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为()A.33B.36C.63D.66解析：设BD＝1，则AB＝AD＝32，BC＝2.在△ABD中，解得sinA＝223，在△ABC中，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得sinC＝66，故选.D备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定解析：∵asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝2418sin45°，∴sinB＝223.又∵ab，∴B有两个．答案：B备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理1．把握三角形中的边角关系2．选用正弦定理或余弦定理的原则在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理1．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为()A．33B．23C．43D.3[练一练]答案：C备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理2．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________.解析：由3sinA＝5sinB可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t0)，则b＝3t，c＝7t，可得cosC＝a2＋b2－c22ab＝5t2＋3t2－7t22×5t×3t＝－12，故C＝2π3.答案：2π3备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理[典例](2013·山东高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(1)求a，c的值；看结论，明方向建立关于a、c的另一个方程审条件，建联系由余弦定理建立关于a,c的方程解方程，得结论备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429，由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.[典例](2013·山东高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(2)求sin(A－B)的值．欲求此值，需先求sinB,sinA,cosA的值判断A为锐角很重要哦！备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理[类题通法]1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理[针对训练](2014·豫东、豫北十校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点(a，b)在直线4xcosB－ycosC＝ccosB上．解：(1)由题意得4acosB－bcosC＝ccosB，由正弦定理得4sinA·cosB－sinB·cosC＝sinC·cosB，即4sinA·cosB＝sinC·cosB＋sinB·cosC，所以4sinA·cosB＝sin(C＋B)＝sinA，(1)求cosB的值；(2)若BA·BC＝3，b＝32，求a和c.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理又sinA≠0，所以cosB＝14.(2)由BA·BC＝3得accosB＝3，又cosB＝14，所以ac＝12.由b2＝a2＋c2－2accosB，b＝32可得a2＋c2＝24，所以(a－c)2＝0，即a＝c.所以a＝c＝23.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理[典例]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.[解](1)∵2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.(1)求角A的大小；思考：将已知等式怎样变形转化？提示：等式两边都有角的正弦值，因而可考虑利用正弦定理将“角”化为“边”.(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理[典例]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3.∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.又∵0°＜B＜120°，30°＜B＋30°＜150°，∴B＋30°＝90°，即B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形．(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．能否用一个角表示？C=120°-B求出sinB，确定角B，判定形状备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理在本例条件下，若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状.解：由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0.即b＝c，又A＝60°，∴△ABC是等边三角形．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理[类题通法]判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理(2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[针对训练]解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝π2，故选.B备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理[典例](2013·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，sinB＝33.[解](1)因为A＝2B，所以cosA＝cos2B＝1－2sin2B.因为sinB＝33，所以cosA＝1－2×13＝13.(1)求cosA及sinC的值；cos2B与sinB有什么关系？能否用A，B表示C？备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理由题意可知，A＝2B,0Aπ，所以0Bπ2.所以cosB＝1－sin2B＝63.因为sinA＝sin2B＝2sinBcosB＝223.所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝539.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理[典例](2013·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，sinB＝33.(2)若b＝2，求△ABC的面积．(2)因为bsinB＝asinA，b＝2，所以233＝a223.所以a＝463.所以△ABC的面积S△ABC＝12absinC＝2029.欲求面积，还需知道什么？由正弦定理求出a，再求面积备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理[类题通法]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第七节正弦定理和余弦定理在△A