第八章图形的变化第1课时图形的轴对称与中心对称1.(2013·杭州)下列“表情图”中,属于轴对称图形的是(D)2.(2013·宁波)下列电视台的台标,是中心对称图形的是(D)3.(2013·湖州)在正三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(C)A.正三角形B.等腰梯形C.矩形D.平行四边形4.(2012·丽水)如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等.黑球放在如图所示的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序号是(A)A.①B.②C.⑤D.⑥5.(2012·杭州)如图,平面直角坐标系中有四个点,它们的横纵坐标均为整数.若在此平面内移动点A,使得这四个点构成的四边形是轴对称图形,并且点A的横纵坐标仍是整数,则移动后点A的坐标为(-1,1)或(-2,-3)或(0,2)或(-2,-2).6.(2013·温州)如图,在平面直角坐标系中△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(-2,0),(-1,0),BC⊥x轴.将△ABC以y轴为对称轴对称变换,得到△A′B′C′(A和A′,B和B′,C和C′分别是对应顶点).直线y=x+b经过点A,C′,则点C′的坐标是(1,3).解析:∵直线y=x+b经过点A(-2,0),∴-2+b=0,∴b=2,∴直线AB的解析式为y=x+2.∵BC⊥x轴,点B(-1,0),∴点C的横坐标为-1,∴点C′的横坐标为1,∴C′的纵坐标为3,∴点C′的坐标为(1,3).7.(2011·绍兴)分别按下列要求解答:(1)在图①中,作出⊙O关于直线l成轴对称的图形;(2)在图②中,作出△ABC关于点P成中心对称的图形.解:(1)如图①.(2)如图②.8.(2011·杭州)图形既关于点O中心对称,又关于直线AC,BD对称,AC=10,BD=6,已知点E,M是线段AB上的动点(不与端点重合),点O到EF,MN的距离分别为h1,h2.△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形.(1)求蝶形面积S的最大值;(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求h1与h2满足的关系式,并求h1的取值范围.解:(1)∵点B与点D,点E与点F都关于AC对称,∴BD⊥AC,EF⊥AC,所以EF∥BD,∴△AEF∽△ABD.∴EFBD=OA-h1OA,由条件解得EF=6-65h1,∴蝶形的面积S=(6-65h1)h1=-65h12+6h1(0<h1<5),由S=-65h12+6h1=-65(h1-52)2+152(0<h1<5),当h1=52时,S最大=152,∴蝶形面积的最大值为152.(2)同(1)可得,MN=6-65h2,图形关于点O对称,又关于直线AC,BD对称,所以两圆重合即有OE=OM,所以h12+[3(1-15h1)]2=h22+[3(1-15h2)]2,得(h1+h2)(h1-h2)+[3(1-15h1)-3(1-15h2)][3(1-15h1)+3(1-15h2)]=0,即(h1+h2)(h1-h2)-35(h1-h2)[6-35(h1+h2)]=0,所以(h1-h2)34h1+h2-9025=0,得h1=h2,或h1+h2=4517.当h1=h2时,点E与点M重合,则0<h1<5,当17h1+17h2=45时,作OK⊥AB,垂足为K,则点M,点E关于直线OK对称,当点M与点B重合时,h1=4517.所以0<h1<4517,所以h1与h2满足的关系式是:h2=h1(0<h1<5),或17h1+17h2=45(0<h1<4517).考点一轴对称图形与轴对称1.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.2.轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够和另一个图形重合,那么这两个图形关于直线对称.两个图形关于直线对称也称轴对称,这条直线叫做对称轴.3.轴对称的基本性质(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分.(2)对应线段相等,对应角相等.4.轴对称和轴对称图形的区别轴对称涉及两个图形,是两个图形的位置关系;轴对称图形是对一个图形本身而言的.考点二中心对称图形与中心对称1.在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,能与原来的图形重合,这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心,旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点.2.在平面内,一个图形绕某一定点旋转180°,它能够与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点成中心对称,这个点叫做对称中心,旋转前后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点.3.中心对称的性质(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;(2)关于中心对称的两个图形是全等形;(3)点P(x,y)关于原点的对称点P′的坐标为(-x,-y).4.中心对称与中心对称图形的区别与联系区别:(1)中心对称是指两个图形的位置关系,而中心对称图形是指具有某种性质的一类图形;(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上,而中心对称图形的对称点在同一个图形上.联系:若把中心对称图形的两部分看成两个图形,则它们成中心对称;若把成中心对称的两个图形看成一个整体,则成为中心对称图形.考点一识别轴对称图形与中心对称图形(2013·义乌)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有(C)A.4个B.3个C.2个D.1个【思路点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可.如图所示的四个图案中,轴对称图形的个数是(C)A.1B.2C.3D.4(2013·北京)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是(A)考点二轴对称的性质(2013·大连)P是∠AOB内一点,分别作点P关于射线OA,OB的对称点P1,P2,连结OP1,OP2.则下列结论正确的是(B)A.OP1⊥OP2B.OP1=OP2C.OP1⊥OP2且OP1=OP2D.OP1≠OP2【思路点拨】根据题意作出图形,由轴对称的性质求出OP1,OP2的数量关系与夹角即可得解.如图,正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′.下列判断错误的是()A.AB=A′B′B.BC∥B′C′C.l⊥BB′D.∠A′=120°解析:∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠A′=∠A=120°;又正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′,∴AB=A′B′,l⊥BB′,故选B.答案:B考点三轴对称性质的应用(2013·资阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值是3+1.【思路点拨】因为BE的值是定值,所以要使△PEB的周长最小,只需求出PE+PB的最小值即可.解析:∵BE的值为定值,∴要使△PEB的周长最小,需PB+PE最小.根据“轴对称的性质以及两点之间线段最短”,可知当点P与点D重合时,PB+PE最小,如图.在Rt△PEB中,∠B=60°,PE=CD=1,可求出BE=33,PB=233,所以△PEB的周长的最小值=BE+PB+PE=3+1.方法总结在直线同侧有两个点M,N时,只要作出点M关于直线的对称点M′,连结M′N交直线于点P,则直线上的所有点中,点P到M,N的距离之和最小,即PM+PN的值最小.(2013·莆田)如图,正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上且DP=1,点Q是AC上一动点,则DQ+PQ的最小值为5.解析:如图,连结BP,∵点B和点D关于直线AC对称,∴QB=QD,则BP就是DQ+PQ的最小值,∵正方形ABCD的边长是4,DP=1,∴CP=3,∴BP=42+32=5,∴DQ+PQ的最小值是5.考点四利用轴对称作图(2013·哈尔滨)如图,在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线MN,点A,B,M,N均在小正方形的顶点上.(1)在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上),使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形,点A的对称点为点D,点B的对称点为点C;(2)请直接写出四边形ABCD的周长.【思路点拨】(1)根据四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形,分别画出A,B的对称点,连结4个点即可;(2)根据勾股定理求出四边形ABCD各边的长.解:(1)作图如图所示.(2)四边形ABCD的周长为:AB+BC+CD+AD=5+22+5+32=25+52.(2013·重庆)作图题:(不要求写作法)如图,△ABC在平面直角坐标系中,其中,点A,B,C的坐标分别为A(-2,1),B(-4,5),C(-5,2).(1)作△ABC关于直线l:x=-1对称的△A1B1C1,其中,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1;(2)写出点A1,B1,C1的坐标.解:(1)△A1B1C1如图所示.(2)A1(0,1),B1(2,5),C1(3,2).能力评估检测1.(2013·日照)下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是(A)2.(2013·天津)下列标志中,可以看作是中心对称图形的是(D)3.(2013·绵阳)下列“数字”图形中,有且仅有一条对称轴的是(A)4.如图所示,将正方形纸片ABCD折叠,使AB,CB均落在对角线BD上,得折痕BE,BF,则∠EBF的大小为(C)A.15°B.30°C.45°D.60°解析:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°.由轴对称可知:∠DBF=∠CBF,∠ABE=∠DBE,∴∠EBF=12∠ABC=45°.5.(2013·常德)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且D点落在对角线D′处.若AB=3,AD=4,则ED的长为()A.32B.3C.1D.43解析:∵AB=3,AD=4,∴DC=3,AC=32+42=5,根据折叠可得△DEC≌△D′EC,∴D′C=DC=3,DE=D′E,设DE=x,则D′E=x,AD′=AC-CD′=2,AE=4-x,在Rt△AED′中,(AD′)2+(ED′)2=AE2,即22+x2=(4-x)2,解得x=32.故选A.答案:A6.(2013·嘉兴)如图,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=1,小球P从点E出发沿直线向点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当小球P第一次碰到点E时,小球P与正方形的边碰撞的次数为6,小球P所经过的路程为65.解析:通过实际操作可以得到小球P与正方形的边碰撞的次数为6,小球所经过的路程通过勾股定理计算可得65.7.(2013·赤峰)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,3),B(2,4),C(4,0),D(2,-3),E(0,-4).写出D,C,B关于y轴对称点F,G,H的坐标,并画出F,G,H点.顺次而平滑地连结A,B,C,D,E,F,G,H,A各点.观察你画出的图形,说明它具有怎样的性质,它像我们熟知的什么图形?解:F(-2,-3),G(-4,0),H(-2,4),图形是关于y轴成轴对称的图形,是心形或苹果形(其他接近图形的形状均可).8.(2013·巴中)△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1;(2)将△A1B1C1向右平移4个单位,作出平移后的△A2B2C2;(3)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并写出点P的坐标(不写解答过程,直接写出结果).解:(1),(2)如图所示.(3)如图所示.作出点A1关于x轴的对称点A′,连结A′C2,交x轴于点P,可得点P的坐标为(83,0)(也可作点C2关于x轴的对称点C′,连结A1C′,与x轴的交点为点P).谢谢观看