泛函变分的基本概念

第一章最优控制中的变分法§1泛函变分的基本概念例：如图为过和的一条光滑曲线，曲线的长度便为的泛函，()xt00(,())Atxt11(,())Btxt()xt101()[,]xtCtt0t1tl()xttAB222()()()dldxdt22()1dlxdt21dlxdt()ABlxdl其中为定义于的映射。一．泛函的定义定义1：设为实向量赋范空间，从的子集到的变换叫做上的一个泛函，记为：102()1()ttlxxtdt()l1101[,]CttRXXD1RX1:JDR0[,]{():()[,]}Cabxtxtab在上连续1[,]{():(),[,]}Cabxtxtab在上连续()[,]{():(),[,]}nnCabxtxtab在上连续实向量赋范空间可取成下列函数空间:X定义2：（1）对于，称为的范数。（2）对于,如下定义范数0[,]xCabmax()atbxxt1[,]xCabxxmax{(),()}atbxxtxt设为赋范空间，为上的泛函,为的定义域，对于对，使得当,时，有JXJXD0xD0,0xD0xx0()()JxJx则称在点连续，如果在任意处连续，则称在上连续。定义4：泛函的极值：1.设，对，都有：（或）则称在处达到绝对极小（或绝对极大）值。J0xJxDJD1:JDXR0xD0xD0()()JxJx0()()JxJxJ0x2.若有正数对，有（或）则称在处达到强相对极小（或强相对极大）值。二.泛函的变分设泛函：关于三个变量都有二阶连续导数，00(,)xDNx0()()JxJx0()()JxJxJ0xL0()(,,)fttJxLxxtdt设，为的改变量，并且，则且:1xCxx1xxC1xC()dxxdt()()JJxxJx0((,,)(,,))fttLxxxxtLxxtdt0((,,)(,,))()fttLLLxxtxxLxxtdtoxx称为的一阶变分。性质1.变分是线性泛函。变分为泛函改变量的主要线性部分。1(,)dxxx0()fttLLJxxdtxxJ0()()fttLLJxxdtoxx(,)Jxx性质2.变分有下列运算法则：（1）（2）（3）（4）为变量的变分。1212()JJJJ121212()JJJJJJxx()dxxdt00(,,)(,,)ffttttLxxtdtLxxtdt其中为函数的变分。令为的函数，求为多少？(,,)LLLxxtxxxx0()(,,)fttJxxLxxxxtdt（）＝（0）0((,,))fttdLxxxxtdtddd（）令即0(,,)(,,)[]fttLxxxxtLxxxxtxxdtxx00()fttLLxxdtJxx（0）0()dJxxJd