2012-固体理论第二章声子-第二讲

经典专著推荐阅读SolidStateTheoryWalterA.HarrisonProfessorofAppliedPhysicsStanfordUniversityMcGraw-HillBookCompany第二章声子§2.5长波方法（一）——声学模长波近似下的声子有着重要的作用。声频支代表同一原胞中各基元（原子）的质心运动，复式晶格的声学模也可以用简单晶格方法进行处理，只需认为M是原胞中原子的总质量。第二章声子对于长波长的晶格振动，其振幅在原胞间缓慢变化，晶体结构的原子性对此影响不大。可以过渡到连续介质模型：lαlrl(rl)u()rRur)(ru则有：引入位移场：第二章声子u(r)也是t的函数，作泰勒展开：再定义密度为：lrll'lαl'ruu)()(ruRRΩM第二章声子故动能可以改写为：注意：)(d)(21d)(212122rrulruuuΤllllΩMTl22)(21)(21)(lrururΤ动能密度第二章声子晶体中的振动势能在简谐近似下较复杂：31332211iiilllllaaaaR)()(0)(ll'l'll'll')uu()l'l()uu(41uu)'.(21βl'βl'l'l,,αlαl'βl'l,αl,l'll第二章声子)r)(r)()})(()l'l()(21{21)r)(r)()})(()l'l(){(221)r)()(()l'l(r)()(41)uu()l'l()uu(41r)()(uulrlrll'l'l,,ll'lrlrll'l'l,,ll'lrll'l'l,,lrll'βl'βl'l'l,,αlαl'lrll'lαl'ruruRRRRruruRRRRruRRruRRruRR第二章声子,,lrlr;l,,lrlr;r)(r)(21dr)(r)(Ω21ruruCruruC第二章声子参数C为弹性系数：l'll'll';RRl'l)())((21RRC,,;ruru)()(21)(rrCr势能密度：第二章声子为形变能密度的二次函数；是应变)()()(rrurr第二章声子具体求解弹性问题时，首先应该考虑对称性，确定弹性系数之间的关系，简化势能密度的表达式。第二章声子晶体的弹性行为可以用应力T、应变S描述。T、S均为二阶对称张量。应力张量T的单位为：N/m2333231232221131211TTTTTTTTTT第二章声子应变张量S为无量纲参数：333231232221131211222222SSSSSSSSSS第二章声子由于Tij=Tji;Sij=Sji即T23=T32、T12=T21、T13=T31S23=S32、S12=S21、S13=S31T、S均只有6个独立分量第二章声子可以令：三个法向应力：T11T1;T22T2;T33T3;三个切向应力：T23T4;T13T5;T12T6;)6,5,4,3,2,1(TT333231232221131211TTTTTTTTTT第二章声子可以令：三个法向应变：S11S1;S22S2;S33S3;三个切向应变：2S23S4;2S13S5;2S12S6;)6,5,4,3,2,1(SS第二章声子T、S的关系在弹性限度范围内是线性的，即满足广义虎克定律：654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211654321TTTTTTssssssssssssssssssssssssssssssssssssSSSSSS第二章声子sij为弹性柔顺系数，实际是一个四阶对称张量sikjl，单位为m2/N。sikjl应该有81个分量，做了简化处理后，sij有36个分量。由对称性，sikjl独立的分量最多为21个第二章声子上式也可简化为：)621(61,,iTsSjjiji第二章声子广义虎克定律也可表示为：654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211654321SSSSSSccccccccccccccccccccccccccccccccccccTTTTTT第二章声子或者：cij为弹性刚度系数，单位为N/m2，分量形式与sij是一样的，其中独立的分量也是21个。)6,2,1(61iScTjjiji第二章声子例：一维连续介质中的弹性波a）导出弹性波的波动方程，证明波速：Y是杨氏模量，ρ为质量密度b）证明对于一维单原子链。在长波极限下，Y和力常数k有关系：Y＝kaa为点阵常数Yv第二章声子解：a)设一准连续介质，x点的位移为u(x)，x+dx的位移为u(x+dx)，应变为：dxxdudxxudxxu)()(-)(第二章声子因应变产生的恢复力为：dxdxxduYdxxF)()(dxxduYxF)()(第二章声子考虑dx段，质量为ρdx，运动方程为：22)()()(dttx,uddxdxxFxF])()([)(22xdtx,xduxdtx,duYdttx,uddxd第二章声子2222)()(dxtx,udYdttx,ud2222)()(xtx,uYttx,u是一维连续介质中的弹性波的波动方程第二章声子有通解：)]ωtxexp[i(u)tx,(u0q代入波动方程，有解:22Yq第二章声子Yqv波速第二章声子b)一维单原子链，长波极限下的色散关系：a21sinmqMkaa21mqq第二章声子波速为：MkavqYMka第二章声子akY;aMaMakMkaY)(2第二章声子弹性动力学方程如果体积元ΔxΔyΔz在x方向受力，则有：22(z)])(z[(y)])([)]()([tuΔxΔyΔzΔΔΔzΔzΔxΔyyΔyΔzxΔxxxxxxzxyxyxxxxyxTTTTTT第二章声子当体积元趋于一个点时，方程变为：22561tuzTyTxTx第二章声子同理有：22426tuzTyTxTy22345tuzTyTxTz第二章声子弹性动力学方程为：223452242622561(1)tuzTyTxTtuzTyTxTtuzTyTxTzyx第二章声子弹性波：张量算符表示弹性动力学方程：000000000(2)22xyxzyzzyxtuT第二章声子由（2）式对时间求导：(3))()(2222tttttuuT为质点的位移速度tttuVVT(4)22第二章声子VcTiScTsjjijit,,)621(61第二章声子0xyx0zyz0z000y000xs第二章声子)6321((5)2222.....,,νμ,z;y,x,ji,tVVctjjjiVVcs第二章声子设弹性波的传播方向单位矢量为I：kjiIzyxlll波矢为k的弹性波有因子：)]-t[i(rIkexp第二章声子000000000xyxzyzzyxiμlllllllllik第二章声子000000000xyxzyzzyxνjlllllllllik第二章声子(6)2222jjjiVkVctVVcs第二章声子ji22effeffc(7)＝为有效弹性常数ijjjijkcVcV（7）为克利斯托夫（Christoffel）方程第二章声子(7)式可以写成：(8)00333231232221131211eff＝－－－－zyxjjijVVVcΓΓΓΓcΓΓΓΓcΓVcV第二章声子000000000000000000c666564565554464544636261535251434241365334262524161514333231232221131211jixyxzyzzyxxyxzyzzyxijijlllllllllcccccccccccccccccccccccccccccccccccclllllllll＝＝为克利斯托夫模量第二章声子例如：.............llcllcllclclclcllcllcllclclclcyxxzzyzyxyxxzzyzyx2646242442222662216155625526621111222222第二章声子由（8）式可以求出三个ceff，对应于三个弹性波。波速分别为：ρcvieffi第二章声子对于立方晶体，由对称性有：444444111212121112121211666564565554464544636261535251434241365334262524161514333231232221131211000000000000000000000000cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc第二章声子由（8）式，对于立方晶体，有：)9(0－)()()()(－)()()()(－)(04411441244124412441144124412441211333231232221131211＝＝－－－zyx2y2x2zyzxzyx2x2z2yxyyxyx2z2y442xzyxVVVcllclcllccllccllcccllclcllccllccllcccllclcVVVcΓΓΓΓcΓΓΓΓcΓ第二章声子如果沿晶轴传播，则有简化式，如沿[100]传播，此时ly=lz=0;lx=1：)9(0000000(9)0444411333231232221131211＝式简化为：＝－－－