第二类换元法

二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求[()]()dfxxx()dfuu()ux若所求积分[()]()dfxxx易求,则得第二类换元积分法.难求，()dfuu常用的第二类换元法有三角代换，倒代换，根式代换()FxC)()]([)(ttft定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,.)()(1的反函数是其中txxt证:的原函数为设)()]([ttf(),t令1()[()]Fxx则()Fxddtddtx[()]()ftt1()t()fx()dfxx1[()]xCCt][)(1xt1()[()]()dtxfttt机动目录上页下页返回结束则有换元公式例17.求22d(0)axxa解:令sin,(,),22xatt则22222sinaxaatcosatdcosdxatt∴原式cosatcosdatt22cosdatt2aCsin224ttax22axtarcsinxa2212xaxC22asin22sincosttt2xa22axa机动目录上页下页返回结束例18.求解:,时当ax令sec,(0,),2xatt则22222secxaatatanatdxsectandattt∴原式dtsectanatttanatsecdtt1lnsectanttC22xat1lnC1(ln)CCa机动目录上页下页返回结束22xaaxa,时当ax令,xu,au则于是22duua221lnuuaC221lnxxaC2122lnaCxxa1(2ln)CCa机动目录上页下页返回结束例19.求解:令tan,(,),22xatt则22222tanxaatasecat2dsecdxatt∴原式2secatsecatdtsecdtt1lnsectanttCax22xatln22()xaxaa1(ln)CCa机动目录上页下页返回结束1C原式1222(1)at212a例20.求224daxxx解:令1,xt则原式21dtt1222(1)dattt22411att32222(1)3atCa当x0时,类似可得同样结果.22d(1)at机动目录上页下页返回结束sin((,0)(0,)),22xatt也可令例21.求解:令1(0),xxt得原式22d1ttat222221d(1)21ataat22211atCa机动目录上页下页返回结束当x0时,类似可得同样结果.tan((,0)(0,)),22xatt也可令例2211xdxe2211,1,2,1xxetettdxdtt令＝则＝从而1ln||1tCt221dtt原式解：11ln||11xxeCe小结:1.第二类换元法常见类型:(1)(,)d,nfxaxbx令ntaxb(2)(,)d,naxbfxxcxd令naxbtcxd22(3)(,)d,fxaxx令sinxat或cosxat22(4)(,)d,fxaxx令tanxat或shxat22(5)(,)d,fxxax令secxat或chxat机动目录上页下页返回结束第四节讲机动目录上页下页返回结束2.基本积分公式(二)(6)分母中因子次数较高时,可试用倒代换下页解:原式21d(1)2xx2)2()1(dx12arctan12xC机动目录上页下页返回结束例23.求例24.求22d(1)xxxee解:原式=22d()()()12x5212x机动目录上页下页返回结束例25.求解:原式2d1xxeearcsinxeC2d1xxexe2311)d1xxx备用题1.求下列积分:3311d(1)31xx3213xC2232)d12xxxx2d12xxx(22)x22d(12)12xxxx522(1)xd(1)x2212xx15arcsin2xC机动目录上页下页返回结束52.求不定积分解：222sincos1sind2sinxxxxx利用凑微分法,221sin2sinxx原式=2d(1sin)x令21sintx222d1ttt212(1)d1tt2(arctan)ttC2221sinarctan1sinxxC得机动目录上页下页返回结束分子分母同除以3.求不定积分解:令sin,xt2211sin,xtdcosdxtt原式2cost212机动目录上页下页返回结束