属于不同特征值的特征向量正交

§1向量的内积、长度及正交性1.内积的定义及性质2.向量的长度及性质3.正交向量组的定义及求解4.正交矩阵与正交变换定义1维向量设有n1122,,nnxyxyxyxyMM[]1122,nnxyxyxyxy=+++L令.,的与为向量称yxyx内积1.内积的定义及性质内积的性质:,,,为实数维向量为其中nzyx;,,)1(xyyx;,,)2(yxyx;,,,)3(zyzxzyx.0],[00],[0)4(xxxxxx时，；当时，当[][][]2(5),,,xyxxyy£定义2令）非负性（1）齐次性（2.或的维向量为称xnx长度范数向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0xxxx时当时当;xx2.向量的长度及性质[]22212,nxxxxxx==+++L[]0,-11xyxyxy¹＃由施瓦茨不等式，，为单位向量。称时当xx,1单位化。的过程称为把向量得到量是一个单位向量。由向则取若axaxaaxa,,0的夹角。与维向量称为时当yxnyxyxyx,arccos,0,0（1）正交的定义（2）正交向量组的定义一组两两正交的非零向量，称为正交向量组．3.正交向量组的定义及求解交。零向量与任何向量都正正交。与称向量时yxyx,0,,0021111T由.01从而有.02r同理可得.,,,21线性无关故r使设有r,,,21证明02211r得左乘上式两端以,1aT0111T（3）正交向量组的性质线性无关.,,,则非零向量,是一组两两正交的,,,维向量若定理rrn21211例1已知三维向量空间中两个向量121,11121321,,正交，试求一个非零向量，使两两正交。3即02],[0],[3213232131xxxxxx解之得.0,231xxx则有若令,13x1013213xxx由上可知两两正交.321,,则有0],[],[3231解.,,0,,213213正交且分别与设Txxx定义设V为向量空间，如果r个向量12,,...,,rV且满足12,,...,r线性无关；（1）（2）V中任一向量都可由12,,...,r线性表示，那么，向量组12,,...,r就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。1122...rrxaaa1212,,...,,,...,.rrxaaa数组称为向量在中的基坐标（4）标准正交基.,,,,,,,,)(,,,3212121的一个标准正交基是则称向量两两正交且都是单位如果的一个基是向量空间维向量设定义VeeeeeeRVVeeenrrnr.212100,212100,002121,0021214321eeee例如（1）正交化，取，11ab,,,1112122bbbabab,,,,21的一个基为向量空间若Vaaar（5）标准正交基的求解.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121212121交化标准正基称为把这样一个问题价等与使位向量的单就是要找一组两两正交的一个标准正交基要求的一个基是向量空间设rrrrreeeeeeVVLLLL121121112211[,][,][,][,][,][,]rrrrrrrrrbababababbbbbbbbb----=----L.,,,,,111等价与两两正交，且那么rrraabbbb（2）单位化，取121212,,,,rrrbbbeeebbb===L。的一个标准正交基为那么Veeer,,,21132333121122[,][,][,][,]babababbbbbb=--例２用施密特正交化方法，将向量组)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1(321aaa标准正交化.解先正交化，1,1,1,111ab1112122,,bbbabab1,1,1,111114114,0,1,13,1,2,0取）正交化。称为施密特（的过程组导出正交向量上述由线性无关向量组Schmidt,,,,,11rrbbaa222321113133],[],[],[],[bbbabbbbabab3,1,2,014141,1,1,1481,1,5,30,2,1,1再单位化，143,141,142,03,1,2,0141222bbe0,62,61,610,2,1,161333bbe得标准正交向量组如下21,21,21,211,1,1,121111bbe112111112112222212221212=nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAEEAaaaaaaLLLLLLLLLLLLLL4.正交矩阵与正交变换定义4如果n阶矩阵A满足ATA=E（即A-1=AT），那么称A为正交矩阵，简称正交阵。T1T212T,,,nnELMTTT11121TTT21222TTT12nnnnnnELLMMMMLT1,;,1,2,,0,ijijijnijL性质正交变换保持向量的长度不变．证明,为正交变换设Pxy.xxxPxPxyyyTTTT则有定义5若为正交阵，则线性变换称为正交变换．PxyP作业P138：1,2（2）§2方阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义及求解2.特征值与特征向量的性质3.小结说明.,0.1言的特征值问题是对方阵而特征向量x.0,0,.2的特征值都是矩阵的即满足方程值有非零解的就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵AEAxEAAn1.特征值与特征向量的定义及求解.,,,,6的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为矩阵这样的数那么成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义AxAxAxxnnA0.3EA1112121222120nnnnnnaaaaaaaaalll--=-LLLLLLL次方程为未知数的一元称以n0EA.的为A特征方程,,次多项式的它是n记EAf称其.的为方阵A特征多项式则有的特征值为阶方阵设,,,,.421nijaAn121122(1);nnnaaalll+++=+++LL12(2).nAlll=L解例5.3113的特征值和特征向量求A的特征多项式为A3113EA1)3(2)2)(4(682.4,221的特征值为所以A,00231123,2211xx对应的特征向量应满足时当,21xx解得.111p取为所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212xxxx即由时当.11,221pxx取为所以对应的特征向量可解得例6.201034011的特征值和特征向量求矩阵A解,)1()2(2010340112EAA的特征多项式为.1,2321的特征值为所以A由解方程时当.0)2(,21xEA,0000100010010140132~EA,1001p得基础解系由解方程时当.0)(,132xEA,000210101101024012~EA所以kp1(k≠0)是对应于1=2l的全部特征向量。,1212p得基础解系所以kp2(k≠0)是对应于的全部特征向量。23==1ll的特征值；是22)1(A.,)2(11的特征值是可逆时当AA例7设是方阵A的特征值，证明例8设3阶矩阵A的特征值为1，-1，2，求A*+3A-2E的特征值。2.特征值与特征向量的性质（1）特征值的性质.,,,,,,,,,,,,,,,221212121线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设定理mmmmppppppmA（2）特征向量的性质求矩阵特征值与特征向量的步骤：;det.1EAA的特征多项式计算;,,,,0det.221的全部特征值就是的全部根求特征方程AEAn.,0,.3的特征向量就是对应于的非零解求齐次方程组对于特征值iiixEA3.小结作业P139：6（2）；13§3相似矩阵1.相似矩阵与相似变换的定义2.相似矩阵的性质3.利用相似变换将方阵对角化4.小结1.相似矩阵与相似变换的定义.,.,,,,,111的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对行运算进对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA证明相似与BAPEPAPPEB11PEAP1PEAP1.EABAPPP1,使得可逆阵.,,1的特征值亦相同与从而式相同的特征多项与则相似与阶矩阵若定理BABABAn2.相似矩阵的性质推论若阶方阵A与对角阵nn21.,,,,21个特征值的即是则相似nAn.,,,1对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对AAPPPAn,,1为对角阵使假设存在可逆阵APPP.,,,21npppPP用其列向量表示为把3.利用相似变换将方阵对角化,,1PAPAPP得由nnnppppppA212121,,,,,,即.,,,2211nnpppnnApApAppppA,,,,,,2121.,,2,1nipApiii于是有nnppp,,,2211.,的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见iiiApPA.,,,,PAPPnnnA使阵个特征向量即可构成矩这个特征向量得并可对应地求个特征值恰好有由于反之.)(2个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理nAAAn如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论nAAn如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化．AnA163053064A设A能否对角化？若能对角,,P则求出可逆矩阵化例10.1为对角阵使APP解163053064EA212.2,1321的全部特征值为所以A得方程组代入将0121xEA063063063212121xxxxxx解之得基础解系,0121.1002解系得方程组的基